| Autor |
Beitrag |
    
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 156
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juli, 2004 - 22:16: | 
|
Hallo alle zusammen,
kann mir jemand von euch erklären,was ein Körper ist bzw. ein Ring ? (Definition wäre auch schön)
Würde mich auch über mehrere (einfache) Beispiele freuen.
Danke im Voraus
Kratas |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1449
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juli, 2004 - 22:54: |
|
Hallo Kratas
Die Definition ist prinzipiell nicht sonderlich schwer, Beweise sind am Anfang jedoch gewöhnungsbedürftig.
Wir starten mal mit einem Ring:
Zunächst einmal seien auf einer (beliebigen) Menge R zwei Operationen definiert, die wir mit "+" und "*" bezeichnen. Wir nennen sie wie gewöhnlich Addition und Multiplikation.
Wir nennen R einen Ring, falls folgende Eigenschaften gelten.
Bei der Addition:
R ist abgeschlossen unter der Addition. Sind a und b aus R, so ist auch a+b aus R.
Es gilt das Assoziativgesetz:
a+(b+c)=(a+b)+c
Es gilt das Kommutativgesetz:
a+b=b+a
Es existiert ein neutrales Element e:
Man nennt ein Element e neutral, wenn für alle a aus R gilt:
a+e=a
Zu jedem a aus R existiert ein inverses Element -a mit a+(-a)=e
Nun zur Multiplikation.
R ist abgeschlossen unter der Multiplikation, d.h. sind a,b aus R, so ist auch a*b aus R.
Es müssen die beiden Distributivgesetze gelten, d.h.
a*(b+c)=a*b+a*c
und
(a+b)*c=a*c+b*c
In Ringen muss das Kommutativgesetz nicht gelten, von daher sind wirklich beide Distributivgesetze zu überprügen!
Außerdem muss noch das Assoziativgesetz gelten, also
a*(b*c)=(a*b)*c
Gelten alle diese Dinge, so ist R ein Ring.
Wir nennen den Ring kommutativ, falls bei der Multiplikation noch das Kommutativgesetz gilt:
a*b=b*a
Wir nennen R einen Ring mit Eins, wenn ein Einselement 1 (nicht zu verwechseln mit der "normalen" 1) in R existiert mit der Eigenschaft 1*a=a für alle a in R.
Soviel zum Ring.
Damit ist die Definition eines Körpers nicht mehr schwer. Sei K ein kommutativer Ring mit Eins.
Existiert zu jedem Element a ein inverses Element a-1 mit a*a-1=1, so ist K ein Körper.
Hier ein paar Beispiele.
Die Menge der ganzen Zahlen ist mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein Ring.
Warum ist Z kein Körper?
Q,R,C sind alles Körper.
Nun mal ein paar Aufgaben zum üben.
1) Zeige folgende Eigenschaften von Ringen:
Seien a,b aus R, R sei ein Ring
i) a*e=e*a=e
ii) a*(-b)=(-a)*b=-(a*b)
iii) (-a)*(-b)=a*b
2) Sei R ein Ring. Ist a ein beliebiges Element aus R, so gilt nicht nur a+e=a, sondern auch e+a=a.
3) Sei R ein Ring mit Eins.
Zeige:
Das neutrale und das Einselement sind eindeutig bestimmt.
Hat R außerdem noch mindestens 2 Elemente, so gilt 1¹e.
MfG
Christian |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1194
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juli, 2004 - 09:04: |
|
Die von Christian für die Addition in einem Ring definierten Eigenschaften lassen sich auch noch zusammenfassen:
(R,+) ist eine abelsche Gruppe.
weitere Aufgaben:
Sei K ein belibiger Körper.Zeige: Für alle a,b aus K gilt:
ab=0<=>a=0 oder b=0
Man beweise die "Bruchrechenregeln":
a)(a/b)=(c/d)<=>ad=bc
b)(a/b)+(c/d)=((ad+bc)/bd)
c)(a/b)*(c/d)=(ac/bd)
d)(a/b): (c/d)=(ad/bc) für c ungleich 0
Man beweise: Q ist ein Körper
Man beweise: Q*sqrt(2)={a+b*sqrt(2)|a,b aus Q} ist ein Körper.
wie viele Elemente muss ein Körper mindestens haben?(Was wäre also der "kleinste Körper"?)
mfg
N.
|
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 157
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 2004 - 18:47: |
|
Hallo  ,
so hab nach langer Pause *g* mal heute die Aufgaben probiert,aber erstmal vielen Dank an euch beide für die Erklärungen  .Die Beweise sind wirklich nicht so einfach  ...@Christian: Ii) ich habes so versucht:
ae =(a+e)e
ae = ae + ee
ae = ae + e
ae - ae = e
a(e+(-e))=e
a(e)=e
bei denen anderen frag ich mich,ob man vorher noch was "definieren" muss z.B. -b= (-1)*b o.ä.
bei II) hab ich mir einfach gedacht,dass man diesen Satz aus dem Kommutativgesetz ableiten kann.
zu III) Wenn das neutrale Element nicht eindeutig bestimmt wäre, es z.B. ein n.E. f gäbe, dann müsste nach den gegebenen Gesetzen gelten:
e + f = e
f + e = f
e+f = f+e
=>e = f
Dementsprechend: angenommen ein anderes Einselement wäre 1',dann gilt:
1'*1= 1
1*1'=1'
usw.
Den letzten Teil bei III kann ich allerdings nicht zeigen.
Viele Grüße und nochmals danke für eure Hilfe
 Kratas |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1458
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 2004 - 19:58: |
|
Hallo
Zu 1i)
Vorsicht!
Du rechnest hier mit ee=e, das setzt aber voraus, dass 1i) schon stimmt!
Mach es folgendermaßen:
ae=a(e+e)=ae+ae
<=> e=ae
Analog der Fall ea.
bei denen anderen frag ich mich,ob man vorher noch was "definieren" muss z.B. -b= (-1)*b o.ä.
Nein, mit "-b" ist das additive Inverse von b gemeint. Du kannst beweisen, dass (-1)*b=-b gilt.
Das folgt aus 1ii).
Wir beweisen 1ii):
a*b+a*(-b)=a*(b-b)=a*e=e
Also ist a*(-b) das Inverse von a*b. Da das Inverse eindeutig bestimmt ist(siehe 3), gilt a*(-b)=a*b.
Analog (-a)*b+a*b=e.
iii) Hier benutzen wir ii)
(-a)*(-b)=-(a*(-b))=-(-(a*b))=a*b
[Das Inverse vom Inversen ist wieder das Element selbst]
Bei 2 ist alles richtig.
Bei 3) auch
Fehlt nur noch der Teil mit 1¹e.
Angenommen 1=e und R habe mindestens zwei Elemente. Dann existiert ein Element a¹e=1.
Es folgt 1*a=a.
Außerdem aber nach Aufgabe 1): e*a=e.
Das ist ein Widerspruch, denn es muss 1*a=e*a gelten, weil 1=e ist. Also muss R weniger als 2 Elemente enthalten.
MfG
Christian
|
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 158
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. August, 2004 - 13:37: |
|
@Christian: Thx,wieder mal alles verstanden 
@Niels:
Wie soll man denn beweisen,dass Q ein Körper ist ?
 Ich selber weiß wohl,dass allgemein das Produkt zweier rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl ist,aber wie soll man diese Abgeschlossenheit denn zeigen ? Genauso bei den Gesetzen...
Gruß
Kratas |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 959
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. August, 2004 - 18:42: |
|
Wo liegen denn genau deine Schwierigkeiten, Kratas?
Q ist die Menge aller Brüche und dafür kennst Du sicherlich die Rechenregeln. Viel mehr ist bei dem Beweis nicht anzuwenden.
Beispiel Kommutativität:
a/b + c/d = (ad)/(bd) + (bc)/(bd) = (ad+bc)/bd
c/d + a/b = (bc)/(bd) + (ad)/(bd) = (bc+ad)/bd
Da in IN das Kommutativgesetz gilt, sind die Ergebnisse dieselben.
|
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1225
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. August, 2004 - 10:18: |
|
Hi Kratas,
Ingo hat recht. Wenn du die "Bruchrechenregeln" erstmal beweiesen hast sind die Körpereigenschaften von Q so gut wie durchgerechnet. Der rest folgt dann mit den Rechengesetzen und Rechenregeln der natürlichen Zahlen.
N. |
|
