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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 143
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juli, 2004 - 13:06: | 
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Sei E Teilmenge von R und f: R->R definiert duch
f(x) = x³ für x € E
x für x € R\E
Untersuchen Sie f auf Injektivität und Surjektivität:
a) im Falle E=Q
b) im Falle E=R\Q
Ich hab die Aufgabe gemacht und komme zu dem Schluß,dass in beiden Fällen die Funktion bijektiv ist, ist das richtig ? Diese Fallunterscheidung macht mirh stutzig =).
Gruß
Kratas
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1446
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juli, 2004 - 13:59: |
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Hallo
Hier habe ich leider eine andere Lösung raus.
Zu a). Injektivität:
Angenommen f(x)=f(y). Sei zunächst o.B.d.A. x aus Q, y aus R\Q. Dann gilt
x3=y. Das ist aber ein Widerspruch, weil aus x€Q sofort y=x3€Q folgt.
Also muss x,y aus Q oder x,y aus R\Q gelten.
Dort folgt aber sofort x=y. Also ist f injektiv.
f ist aber nicht surjektiv. Z.B. liegt 2 nicht im Bild von f. Das liegt daran, dass 2 keine irrationale Zahl ist, 21/3 aber irrational ist.
b) Die Funktion ist nicht injektiv. Es gilt z.B.
f(2)=2=f(21/3)
Die Funktion ist aber surjektiv. Man erreicht offenbar alle rationalen Zahlen.
Sei nun z eine irrationale Zahl. Dann ist auch sgn(z)*3.Wurzel(|z|) irrational[denn sonst wäre (3.Wurzel(|z|))3=|z| rational]. Damit existiert zu jeder irrationalen Zahl z die Zahl sgn(z)*3.Wurzel(|z|) mit
f(sgn(z)*3.Wurzel(|z|))=sgn(z)3*|z|=z.
MfG
Christian |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 145
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juli, 2004 - 17:21: |
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Thx =),ich wäre gar nicht auf den Faktor "Signum z" gekommen. |
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