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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juli, 2004 - 12:02: | 
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Folgende Aufgabe: Zeigen Sie,dass die folgende Abbildung f:R -> R bijektiv sind:
1)
f(x) = 1-x für 0<x<1
x sonst
Surjektivität:
Zu jedem y€R gibt es ein x€R,das man über y=1-x bzw. x berechnen kann.
Injektivität:
f(x) ist in Intervallen abschnittsweise streng monoton fallend bzw. steigend
Die Wertemengen der "Teilfunktionen" g(x)= 1-x
und h(x)=x haben keine gemeinsamen Elemente:
W(g)= {y€R | 0<x<1 }
W(h)= {y € R \ ]0;1[ } bzw. {y € R | y<0 oder y>1}
Also: W(g) und W(h) = {}
Jedem y wird nur ein x zugeordnet.
Folglich: Bijektive Funktion !
FRAGE(N):
**********
1)Wie kann man das noch zeigen ?
2)Mir kommen meine Formulierungen sehr komisch vor. Kann das jemand besser ?
3) Ist das überhaupt richtig,was ich geschrieben habe ?
4)kann bei injektiven Funktionen ein y auch KEIN Bild eines x sein ?
5)Was meinen die Begriffe eindeutig,eineindeutig und umkehrbar (ein)eindeutig ? *verwirrt*
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 950
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juli, 2004 - 12:30: |
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Zur Surjektivität: Deine Formulierung sagt im Prinzip nichts anderes als "Die Funktion ist surjektiv, weil sie surjektiv ist"
Du mußt eben gerade zeigen daß es zu jedem y ein x gibt.
Fall 1: Sei y aus [0,1]
Wähle x=1-y, dann ist x aus [0,1] und es gilt f(x)=1-(1-y)=y
Fall 2: Sei y nicht aus [0,1]
Offensichtlich ist f(y)=y.
Injektivität:
Die Begründung über Monotonie ist schon ok so, aber man kann es auch ohne diese hinbekommen.
Da f([0,1])=[0,1] und f(IR\[0,1])=IR\[0,1] ist klar, daß f(x)=f(y) nur für x und y aus demselben Definitionsabschnitt gelten kann.
Fall 1: x aus [0,1]
f(x)=f(y) <=> 1-x=1-y <=> x=y
Fall 2: x nicht aus [0,1]
f(x)=f(y) <=> x=y
Zu Frage 4: Klar kann es das. Injektivität heisst ja nur, daß es höchstens ein Urbild gibt.
f:IR->IR, x-> 1/x ist beispielsweise auch injektiv, obwohl f-1(0)={}
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1193
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juli, 2004 - 16:18: |
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Hi Kratas,
umkehrbar=bijektiv oder anders ausgedrückt, nur bijektive Funktionen f besitzen eine eindeutige Umkehrfunktion (Umkehrabbildung) f-1 . wobei gilt:
f-1°f=id. wobei "°" eine Verknüpfung ist (Hintereinanderausführung von Funktionen) und id. die Identische Abbildung ist.
eineindeutig: Eineindeutige Funktionen
besitzen zu vershciedenen Argumenten auch unterschiedliche Funktionswerte
Bei (eindeutigen) Funktionen besitzt jedes Argument ein Funktionswert, wobei aber verschieden Argumente ruhig gleiche Funktionswerte besitzen dürfen.
Frage:
Kennst du eindeutige, eineindeutige Funktionen? |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 141
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juli, 2004 - 22:26: |
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@Ingo: Super. Alles verstanden.Danke :=)!
@Niels2: Besten Dank!
Zur Kontrolle: f:R->R, f(x)= 1/x ist injektiv,aber nicht surjektiv. Würde man aber aber definieren f:R\0 -> R\0,wäre die Funktion bijektiv und somit umkehrbar.
Eineindeutige Funktionen sind injektiv.
Alle Funktionen sind eindeutig (sonst wären sie keine Funktionen).
Beispiele für eineindeutige Funktionen sind alle streng monotonen Funktionen z.B.f:R+ -> R+ ,y= sqrt(x), y = ln x usw. Stimmt das alles ?
Den Begriff umkehrbar eindeutig gibt es also gar nicht bzw. ist er überflüssig, oder ?
y=1/x ist nicht streng monoton fallend auf D=R, also ist sie nicht umkehrbar.
Stimmt es,dass es Funktionen gibt die umkehrbar sind, aber NICHT streng monoton sind ?
Nochmal vielen Dank !
Ihr seid immer blitzschnell...
Viele Grüße 
Kratas
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 951
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juli, 2004 - 22:40: |
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quote:Stimmt es,dass es Funktionen gibt die umkehrbar sind, aber NICHT streng monoton sind ?
f(x)=1/x für x¹0 und f(0):=0
Noch mal zum Thema eineindeutigkeit:
eineindeutig = umkehrbar = bijektiv
Jedem x ist ein y zugeordnet und zu jedem y gibt es ein x: eineindeutig
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