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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1420
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juni, 2004 - 15:47: | 
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Hi allerseits,
auf Wunsch veröffentlich ich nun eine kleine Zusammenfassung zum Thema Partialbruchzerlegung:
Partialbruchzerlegung:
Sie ist anwendbar auf gebrochen rationale Funktionen f(x)/g(x), deren Zählerpolynom von kleinerem Grad als das Nennerpolynom ist.
Jeder Nenner g(x) kann in Faktoren zerlegt werden wobei a,b,... die Wurzeln (= Nullstellen) von g(x) sind.
Diese Wurzeln können einfach-reell, mehrfach-reell, komplex (immer konjugiert komplex) oder mehrfach-komplex sein.
Um es uns einfacher zu machen, vermeiden wir die komplexen Faktoren und zerlegen Faktoren zweiten Grades, die zu komplexen Wurzeln führen, nicht mehr weiter.
Faktoren zweiten Grades haben die Form: (x^2 + rx + s). Sie könen ebenfalls als Mehrfachfaktoren auftreten.
Das Polynom ist also zerlegbar in:
g(x)= (x-a)(x-b)(x-c)^2....(x^2+r1x+s1)(x^2+r2x+s2)^2
Nun machen wir den Ansatz für Partialbrüche wie folgt:
- für jeden Faktor (x-a): Ansatz: A/(x-a)
- für jeden mehrfachen Linearfaktor: Faktor (x-b)^n : Ansatz: A/(x-b)^n ...+B/(x-b)^2+C(x-b)
- für jeden quadratischen Faktor (x^2+rx+s): Ansatz: (Ax+B)/(x^2+rx+s) - für jeden mehrfachen quadratischen Faktor (x^2+rx+s)^n: Ansatz: (Ax+B)/(x^2+rx+s)^n+...+(Cx+D)/(x^2+rx+s)
Beispiele folgen...
mfg
PS: Diese Zusammenfassung ist sicherlich nicht komplett oder perfekt, daher kann jeder der möchte weiter Interesannte Aspekte hinzufügen! |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 799
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juni, 2004 - 17:36: |
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ein Trick der manchmal auch weiterhilft, vor allem bei quadratischen Termen:
an Stelle von (Ax+B)/(x^2 + rx + s) nehme man
(A(2x+r) + B)/(x^2 + rx + s)
vom ersten Teil läßt sich die Stammfkt. sofort bilden => A*ln(x^2 + rx + s) vom zweiten Teil bildet man die Scheitelpunktform des Nenners, also
aus B/(x^2 + rx + s) wird dann B/((x+r/2)^2-(r^2/4-s)), und das kann dann mit einer Substitution t = x + r/2 weiterbehandelt werden, damit wird dann dt = dx, daher
B/(t^2-(r^2/4-s))
in dem Fall gilt s > r^2/4, sonst hätten wir es ganz oben schon in Linearfaktoren aufgespalten
somit haben wir es mit B/(t^2+a^2) mit a = sqrt(s-r^2/4) zu tun, und das ergibt als Stammfkt. arctan(t/a)/a, rücksubst. ergibt dies B*arctan((x+r/2)/sqrt(s-r^2/4))/sqrt(s-r^2/4)
Zusammenfassung:
die Stammfkt. von
(A(2x+r) + B)/(x^2 + rx + s) lautet
A*ln(x^2 + rx + s) + B*arctan((x+r/2)/sqrt(s-r^2/4))/sqrt(s-r^2/4)
Ähnliches ergibt sich für mehrfache Faktoren
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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