| Autor |
Beitrag |
    
Yushibi (Yushibi)
Mitglied
Benutzername: Yushibi
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 17:01: | 
|
hallo^^
hoffentlich kann mir jemand helfen...wir schreiben am donnerstag ne mathearbeit und ich bin am verzweifeln..ich war lange nicht in der schule und hab somit sämtliche grundlagen verpasst, als wir das thema "vektorrechnung" angefangen haben und versuch nun, mich irgendwie mitschleifen zu lassen...ich verzweifel jedes mal an den hausaufgaben...vllt könnt ihr mir helfen (mit genauen (!) erklärungen warum ihr was wie machen würdet?)...sonst kapier ich das nämlich nicht *schäm*
die aufgaben wären:
1) Gegeben ist eine Ebene: E:x=(3|0|2) +r(2|1|7) +s(3|2|5). Prüfe, ob die folgenden Punkte in der Ebene E liegen:
A(3|0|2), B(8|3|14), C(1|3|5), D(7|-2|9)
-----------------------------------------
2) Untersuche, ob die 4 folgenden Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen:
A(3|0|2), B(5|1|9), C(6|2|7), D(8|3|14)
-----------------------------------------
3)Es gibt vier Ebenen:
E1:x=(2|1|0)+r(3|0|1)+s(1|1|1)
E2:x=(2|5|1)+r(1|2|3)+s(3|2|1)
E3:x=(18|2|6)+r(2-1|0)+s(3|1|2)
E4:x=(5|8|4)+r(1|1|1)+s(1|0|-1
Stimmt Ebene 1 mit Ebene 2, 3 oder 4 überein?
--------------------------------------
Bitte erklärt mir, wie ich sowas rechnen muss..ich versteh kein Wort davon 
vlg Yushibi
|
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 218
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 17:50: |
|
Hallo Yushibi.
1.)Ein Punkt A liegt in einer Ebene E, wenn sein Ortsvektor a (also der Vektor, der vom Ursprung zu A zeigt) sich widerspruchsfrei in die Ebenengleichung einsetzen lässt. Du setzt also für die Punktprobe die Koordinaten von A anstelle von x in die Ebenengleichung ein und erhältst, wenn du die Gleichung dann koordinatenweise (also "zeilenweise") schreibst, drei Gleichungen mit insgesamt 2 Variablen, nämlich den beiden Ebenenparametern r und s. Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Finde also aus 2 der 3 Gleichungen Lösungen für r und s und setze diese in die 3. Gleichung ein. Ergibt das keinen Widerspruch, so liegt der Punkt in der Ebene. Ergibt sich ein Widerspruch (wie z.B. 2=5 oder so), dann nicht.
2.) 3 Punkte liegen immer in einer Ebene. Stelle aus 3 der 4 Punkte eine Ebenengleichung auf (stelle dabei sicher, dass die Punkte nicht kollinear sind, also nicht auf einer Geraden liegen. Das siehst du daran, ob die Richtunngsvektoren der Ebene auch wirklich linear unabhängig sind) und prüfe mit dem Verfahren von 1.) ob der 4.Punkt in dieser Ebene liegt. Du kannst auch die Verbindungsvektoren AB, AC und AD aufstellen und zeigen, dass sie linear abhängig sind, denn wenn die 4 Punkte in einer Ebene liegen, dann sind ihre Verbindungsvektoren immer abhängig .
3.) Auch hier musst du zunächst die lineare Abhängigkeit der Spannvektoren prüfen. Wenn 2 Ebenengleichungen dieselbe Ebene beschreiben, sind ihre Spannvektoren linear abhängig. Nimm also der ersten Spannvektor von E2 ( das ist (1/2/3) ) und prüfe, ob er sich als Linearkombination der Spannvektoren von E1 schreiben lässt, also ob die Vektorgleichung (1/2/3) = r(3/0/1)+s(1/1/1) lösbar ist. (Verfahren wie bei 1.)). Wenn das geht, dann nimm den 2. Spannvektor und prüfe auch diesen. Ist der auch als Linearkombination der Spannvektoren von E1 darstellbar, dann sind die beiden Ebenen schon mal mindestens parallel. Nun prüfst du, ob der Punkt (2/5/1), der ja ein Punkt von E2 ist, auch in E1 liegt.
Soweit in Kürze - wenn noch was unklar ist, frag nur. |
Yushibi (Yushibi)
Mitglied
Benutzername: Yushibi
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 18:36: |
|
danke für deine antwort jule, aber gleich zu aufgabe 1..ich kann nicht mal mit sicherheit sagen, wie ich punkte in die ebenengleichung einsetze (wo?? wie??) *schäm* hab keinerlei konzept und irgendwie angst, gleich am anfang falsch zu rechnen....ich versteh das nicht..wenn ich die punkte von A für x einsetze, wie soll das aussehen..bleiben nicht trotzdem alle anderen punkte da? *komplette verwirrung*
schreib ich also:
E: Ortsvektor a (3|0|2)=(3|0|2)+r(2|1|7)+s(3|2|5) ?? und was genau dann (wenns richtig ist?)
*denk* schreibe ich diese komisch gleichung mit den langen strichen an der seite auf? (srry weiß nich wie ich das beschreiben kann)...
srry das ich so blöd bin *brainstorm*
also bei mir sieht das jetzt irgendwie so aus:
3+ 2r+ 3s = 3
1r+ 2s = 0
2+ 7r+ 5s = 2
stimmt das soweit??
Yushibi
(Beitrag nachträglich am 05., Juni. 2004 von yushibi editiert) |
Yushibi (Yushibi)
Mitglied
Benutzername: Yushibi
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 19:00: |
|
leider geht editieren nicht mehr...schreib ich also einen neuen post...
du ich hab jetzt n bisschen rumgerechnet (in der hoffnung, dass die gleichung einfach so gestimmt hat)...
hab also die drei gleichungen oben genommen. die zweite mit 2 multipliziert und von der ersten abgezogen...und so weiter...irgendwann kam bei mir r+s=0 raus, woanders jedoch s=3...also dachte ich müsste also r=-3 sein...das hab ich mal versucht in die gleichungen einzusetzen, aber es kamen nur widersprüche dabei raus...
wie zb. -4=2 oder 6=3....
hab ich jetzt einfach falsch gerechnet, oder heißt das einfach, dass der punkt nicht in der ebene liegt? (wie soll man sowas denn kontrollieren.. kann man nur hoffen, dass man richtig rechnet oder?)
vlg Yushibi |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 219
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 22:04: |
|
also, Yushibi, dein Gleichungssystem stimmt. Wenn du - wie du richtig gerechnet hast - die 2.Gleichung mit 2 multiplizierst und von der 1.subtrahierst erhältst du s=0 und aus der 2. Gleichung dann r=0. Eingesetzt in die 3.Gleichung 0=0, was ja richtig ist. A liegt also in E. (Natürlich - denn wenn du die Ebenengleichung ansiehst, dann siehst du, dass der "Stützvektor" der Ebene, also der Vektor, der vom Ursprung zu einem Ebenenpunkt zeigt, der Ortsvektor von A ist, also muss A ein Punkt von E sein.)
Wenn du nicht durchblickst sag Bescheid, dann kann ich dir morgen die ganze Rechnung auch als Mail schicken, dann kann ich sie mit dem word-Formeleditor schreiben, da siehst du die Vektorgleichungen besser als hier (orchidee16de@yahoo.de). |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1136
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 12:41: |
|
Hallo, zu
1.
Ich würde mal die Ebenengleichung parameterfrei machen, das ist nämlich zur Überprüfung von mehreren Punkten am sinnvollsten:
Wir multiplizieren die gegebene Parameterform der Ebene mit ihrem Normalvektor (d.i. der Normalvektor N auf die beiden Richtungsvektoren):
| i j k |
|2 1 7| = N
|3 2 5|
Wir erhalten die x-, y-, und z-Komponenten des Normalvektors, wenn man nacheinander die Zeile und die Spalte, in der i, bzw. j, bzw. k steht, streicht, und die übrigbleibende zweireihige Determinante berechnet (bei der mittleren ist das Vorzeichen zu wechseln):
N = (-9;11;1)
Durch diesen schönen Trick (skalare Multiplikation mit N) fallen die skalaren Produkte von N mit den Richtungsvektoren weg, denn das skalare Produkt zweier Vektoren, die normal aufeinander stehen, ist Null. Es bleibt nur noch das skalare Produkt mit dem Anfangspunkt übrig, welches eine Konstante ist. Daher rührt auch die Normalvektorform der Ebenengleichung her: N.X = const.
Somit lautet die Ebene E:
(-9;11;1).X = (3;0;2).(-9;11;1)
E: -9x + 11y + z = -25
Jetzt kann man nacheinander die Punkte einsetzen und nachsehen, ob sich eine Identität ergibt oder nicht:
A(3|0|2): -9*3 + 11*0 + 1*2 = -25 -> A € E
B(8|3|14): -9*8 + 11*3 + 1*14 = -25 -> B € E
C(1|3|5): -9*1 + 11*3 + 1*5 = -29 -> C nicht in E
D(7|-2|9): -9*7 - 11*2 + 1*9 = -76 -> D nicht in E
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 06., Juni. 2004 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1137
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 13:33: |
|
Bei den anderen Aufgaben hat Jule bereits einen Weg vorgezeichnet; für 2. ist die Untersuchung der Determinante der drei Verbindungsvektoren tatsächlich am einfachsten.
Ob das Verfahren bei 3. allerdings hinsichtlich der Rechenarbeit das ökonomischte ist (Gleichungssysteme zu lösen, ist immer mit einer gewissen Rechenarbeit verbunden), mag dahingestellt sein.
Hier empfiehlt es sich ebenfalls, die Ebenengleichungen parameterfrei zu machen bzw. zuerst die Normalvektoren zu ermitteln und dann nachzusehen, ob diese kollinear (parallel) bzw. ob die Gleichungen der Ebenen identisch sind.
In der Angabe müssen (bei gleichzeitigem Vorhandensein mehrerer Ebenen) die Parameter alle verschieden sein, sonst würde man beim eventuellen Auflösen der zugehörigen Systeme arg in Bedrängnis geraten!
E1: X = (2;1;0) + r*(3;0;1) + s*(1;1;1)
E2: X = (2;5;1) + t*(1;2;3) + u*(3;2;1)
E3: X = (18;2;6) + v*(2;-1;0) + w*(3;1;2)
E4: X = (5;8;4) + µ*(1;1;1) + q*(1;0;-1)
Wir bestimmen zunächst die Normalvektoren, wiederum nach dem in der vorhergehenden Nachricht angegebenen Verfahren:
E1: N1 = (1;2;-3)
E2: N2 = (1;-2;1)
E3: N3 = (2;4;-5)
E4: N4 = (1;-2;1)
Nun sehen wir bereits, dass nur E2 und E4 denselben Normalvektor besitzen, alle anderen sind verschieden. Nun überprüfen wir noch, ob E2 und E4 parallel oder identisch sind, dazu ermitteln wir ihre Gleichungen:
E2:
(1;-2;1).X = (1;-2;1).(2;5;1)
x - 2y + z = -7
E4:
(1;-2;1).X = (1;-2;1).(5;8;4)
x - 2y + z = -7
Somit sind E2 und E4 identisch, die anderen Ebenen verschieden.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 06., Juni. 2004 von mythos2002 editiert) |
|
