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Musikus (Musikus)
Junior Mitglied
Benutzername: Musikus
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 19:48: | 
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Hi Leute!
Ich hab da ein problem.
gegeben sind die zwei geraden
g: x=(2;1;5)+t(1;0;3)
h: x=(3;4;2)+t(-1;4;1)
beide geraden sind windschief und haben den Abstand 8/(111/2) LE.
die Aufgabe ist nun, ich soll den Punkt G auf g
und H auf h so bestimmen, dass die Strecke GH genauso lang ist wie der Abstand von g und h.
kann mir da einer helfen?
Ich würde mich sehr freuen.
Euer Musikus |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4093
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 20:34: |
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Hi Musikus,
Es handelt sich bei Deiner Aufgabe um die Ermittlung der
so genannten Minimaltransversalen mm der gegebenen
windschiefen Geraden g und h.
Die Gerade mm schneidet g und h je senkrecht,
und zwar g im Punkt G, h im Punkt H.
Der Abstand dieser beiden Punkte ist der kürzeste Abstand d
der beiden windschiefen Geraden.
Im vorliegenden Fall ergibt sich das Resultat:
G : xG = 12/11, yG = 11/11, zG =25/11
H : xH = 39/11, yH = 20/11, zH =16/11
Der Abstand ist d = 1/11* sqrt(891) = 9/sqrt(11) ~ 2,7136
Dieses Resultat erhält man auch mit der Formel, in deren
Zähler ein gewisses Spatprodukt und im Nenner der Betrag
eines gewissen Vektorprodukts steen.
Herleitung der Minimaltransversalen mm.
Bezeichnungen:
a ist der gegebene Richtungsvektor von g:
a = {1;0;3},P der laufende Punkt auf g, Parameter t
b ist der gegebene Richtungsvektor von g:
b = {-1;4;1},Q der laufende Punkt auf h ,Parameter r
Wir ermitteln die drei Koordinaten des Verbindungsvektors
v = PQ; dieser Vektor ist der Differenzvektor der
Ortsvektoren der Punkte Q und P, also:
v = {3 - r - 2 - t ; 4 + 4 r - 1 ; 2 + r - 5 - 3 t }
Da die Transversale mm sowohl auf g als auch auf h senkrecht
steht, sind die beiden folgenden Skalarprodukte null.
v . a = 0
v . b = 0
Es entstehen die folgenden beiden Gleichungen
zur Ermittlung der Parameterwerte t für G und r für H:
r -5 t - 4 = 0
9 r - t + 4 = 0
Daraus t = - 10 / 11 , r = - 6 / 11
Damit erhaelt man die angegebenen Punkte
und den erwaehnten kuerzesten Abstand.
MfG
H.R.Moser,megamath
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