| Autor |
Beitrag |
    
Cat99s (Cat99s)
Neues Mitglied
Benutzername: Cat99s
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 14:57: | 
|
hallo,
gegeben sei im R2 die kurve
x(t) = ln t, y (t) = 1:2 * (t + 1:t)
jetzt soll man die kurve von der parameter- in die kartesische form bringen. Danach die länge der kurve berechnen, indem man einmal die angegebene parameterdarstellung und die berechnete kartesische darstellung verwendet.
Wie rechne ich die kurve von der parameter- in die kartesische form um und wie gehe ich die sache mit der länge der kurve an?
mfg
|
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 991
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 18:36: |
|
Hi!
Die kartesische Form zu bestimmen ist ganz einfach. Du musst nur das y in Abhängigkeit von x bringen. Da dein y aber im Moment vom t abhängt, musst du die erste Gleichung nach t auflösen:
x = ln t => t = ex
Also: y(t) = 1/2 * (t + 1/t) = 1/2 * (ex + e-x)
Für die Länge der Kurve zur Funktion y=f(x) von a bis b gibt es die Formel:
s = ò Ö(1 + [f'(x)]²) dx in den Grenzen a bis b
Also berechnen wir mal die Stammfunktion:
ò Ö(1 + [f'(x)]²) dx = ò Ö (1 + [(1/2*(ex+e-x))']²) dx
= ò Ö (1 + [1/2*(ex-e-x)]²) dx
= ò Ö (1 + [sinh x]²) dx
= ò Ö (cosh² x) dx
= ò cosh x dx
= sinh x + C
Also gilt für die Länge der Kurve von a bis b:
L = sinh b - sinh a
Ich schaue mal, ob ich auch für die aprametrische Form Zeit finde...
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
|
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 993
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 20:55: |
|
Nun zur parametrischen Form:
Hier gilt für die Kurvenlänge :
s = ò Ö ([x'(t)]² + [y'(t)]²) dt (in den Grenzen A bis B)
= ò Ö ([(ln t)']² + [(1/2*(t + 1/t))']²) dt
= ò Ö ([1/t]² + [1/2 - 1/2t²]²) dt
= ò Ö (1/t² + 1/4 - 1/2t² + 1/4t4) dt
= ò Ö 1/4*(4/t² + 1 - 2/t² + 1/t4) dt
= ò 1/2 * Ö (1 + 2/t² + 1/t4) dt
= 1/2 * ò Ö (1 + 1/t2)² dt
= 1/2 * ò (1 + 1/t²) dt
= 1/2 * (t - 1/t) + C
Also gilt für die Kurvenlänge:
L = 1/2 * (B - 1/B) - 1/2 * (A - 1/A)
Hierbei ist natürlich zu beachten, dass für die Beziehung zwischen den Grenzen bei der kartesischen Form (a und b) und den Grenzen bei der parametrischen Form (A und B) gilt:
A = ea und B = eb
bzw. a = ln A und b = ln B
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
|
Cat99s (Cat99s)
Neues Mitglied
Benutzername: Cat99s
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 07:47: |
|
hallo,
super.
du hast mir echt geholfen. danke!
mfg |
