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Anastäschen (Anastäschen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 78
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 08:46: | 
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Hallo ihr Lieben,
habe mal wieder über die Ferien eine komplexe Abiaufgabe auf und zwar aus diesem Jahr Leistungskurs.
Komme bei vielen einfach nicht klar .
Bitte ,bitte helft mir
Funktion y=fa(t)= (2*e^(a*t))/(e^(a*t)+29) t alle reellen Zahlen ,a alle reellen Zahlen ,a>0
Ihre Graphen werden mit Ga bezeichnet.
B.)Untersuchen sie die Funktion auf lokale Extremstellen. (kann die 1./2./3. Abl. nicht bilden)
Jeder Graph Ga besitzt genau einen Wendepunkt. Zeigen sie ,dass die Wendepunkte Wa auf einer Parallelen zur t-Achse liegen.
Welchen Einfluß hat der Parameter a auf den Verlauf der Graphen?
c.) Der Graph G1 ,die t-Achse und die Gerade mit der Gleichung t=ln29 begrenzen eine Fläche.
Berechnen sie die Maßzahl des Inhalts der Fläche. ( weiß nicht ,wie ich das mit dem uneigentl. Integral machen soll)
d.)Durch die Funktion f0.04 für 0<gleich t<gleich 200 (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden ,wobei f0,04(t) die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.
Berechnen sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10,50 und 150 Tagen.
Berechnen sie ,wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten ist.
Erläutern sie Grenzen dieser mathematischen Modellbildung.
Bei dieser letzten Aufgabe haben ich überhaupt keine Ahnung. Ich schätze mal ,dass das was mit Zahlenfolgen zutun hat. Habe noch nie so eine Aufgabe gerechnet.
Bitte ,bitte helft mir!!!!
Danke im voraus!!
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1128
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 09:33: |
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Hallo,
die Ableitungen führst du konsequent nach der Bruchregel durch, die Rechnung wird zwar etwas umfangreich, aber nicht wirklich schwierig.
fa(t) = 2*e^(at)/(e^(at) + 29)
fa'(t) =
= 2*[a*e^(at)*(e^(at) + 29) - e^(at)*a*e^(at)]/(e^(at) + 29)² =
= 2*29a*e^(at)/(e^(at) + 29)² =
= 58a*e^(at)/(e^(at) + 29)²
fa''(t) =
= 58a*[a*e^(at)*(a^(at) + 29) - 2*e^(at)*(e^(at) + 29)*a*e^(at)]/(e^(at) + 29)^4 =
(den Faktor (e^(at) + 29) ausklammern, kürzen)
= 58a*[a*e^(at) + 29a*e^(at) - 2a*e^(at)]/(e^(at) + 29)³ =
= 58a²*e^(at)*(29 - e^(at))/(e^(at) + 29)³
Wendepunkt: fa''(t) = 0
e^(at) = 29
at = ln(29)
t = ln(29)/a
t in fa(t) ergibt die Wendepunkte Wa
Wa(ln(29)/a | 1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Ortskurve fw, auf der alle Wendepunkte W(a) liegen, ist eine Parameterdarstellung in a; wenn man den Parameter a eliminiert, bekommt man die Funktionsgleichung in f(t): t -> fw(t)
Hier ist das besonders einfach, denn man sieht ja schon, dass alle Funktionswerte der Wendepunkte Wa gleich 1 sind.
fw(t) = 2*29/58 [für e^(at) einfach 29 in fa(t) einsetzen]
fw(t) = 1
°°°°°°°°°°
.. das ist tatsächlich eine Gerade parallel zur t - Achse (wie x - Achse)
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 25., Mai. 2004 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1129
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 11:07: |
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Dass tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt, ist erst dann der Fall, wenn die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist.
Da die zweite Ableitung ein größerer Bruch ist, würde dies nun etwas rechenintensiv werden. Glücklicherweise kann man aber eine Vereinfachung vornehmen, wenn die 3. Ableitung nur an der Stelle tw betrachtet werden soll, an der die zweite Ableitung Null ist.
Allgemein geht das so (z .. Zähler, n .. Nenner):
2. Ableitung = z/n, für W ist z = 0
3. Ableitung: (z'n - z*n')/n², da z = 0 -> z'/n
Man braucht also nur den Zähler ableiten und den Nenner unverändert lassen!
fa'''(t) = 58a³*e^(at)*(29 - 2*e^(at))/(e^(at) + 29)³
Wiederum für e^(at) = 29 einsetzen:
fa'''(tw) = 58a³*29*(29 - 58)/58³ = -a³/4
und das ist sicher nicht Null.
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Der Parameter a beeinflusst die Steilheit (Steigung) der Kurven, bzw. wie schnell sie sich der gemeinsamen Asymptote f(t) = 2 annähern. Für kleine a sind die Kurven flacher.
Die Asymptote erhält man, wenn man t -> oo gehen läßt (Grenzwert der Funktion). Nach vorheriger Division durch e^(at) ist:
fa(t) = 2/(1 + 29/e^(at))
lim[fa(t)][t -> oo] = 2/(1 + 0) = 2
------------------
Die zu berechnende Fläche ist das bestimmte (uneigentliche) Integral von -oo bis ln(29) von 2*e^t/(e^t + 29).
Da - abgesehen vom Faktor 2 - im Zähler genau die Ableitung des Nenners steht, beträgt das Integral 2*ln(e^t + 29). Für t -> -oo wird aber e^t zu Null, somit ist die Fläche:
A = 2*ln(58) - 2*ln(29) = 2*ln(2) = ln(4) = 1,3863 E²
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 25., Mai. 2004 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1130
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 11:18: |
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Zum besseren Verständnis noch eine Grafik der Schar:
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Anastäschen (Anastäschen)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 07:59: |
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Vielen ,vielen Dank lieber Mythos.
Das kann ich ja gar nich wieder gut machen bei dir!!
Bei deinem 2.Eintrag verstehe ich das mit dieser Vereinfachung nicht.
Was ist denn tw für eine Stelle????
Und bei deinem 1.Eintrag verstehe ich den Schritt mit dem eliminieren nicht.
Habe von diesem Verfahren noch nie etwas gehört.
Ansonsten hast du mir sehr sehr viel geholfen ,wofür ich mich 1000mal bei dir bedanken möchte.
Bloß hast du noch eine kleine Ahnung wie ich das mit Aufgabe c machen soll???
Danke für alles und die Zeichnung ist auch supi und sieht genauso aus ,wie meine Bleistiftzeichnung!!:-) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1131
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 09:59: |
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Hi,
tw ist einfach die Stelle des Wendepunktes. An dieser Stelle ist die 2. Ableitung ja Null, aber die 3. Ableitung darf bekanntlich dort nicht Null sein. Die Vereinfachung rührt daher, dass eben die 2. Ableitung - und damit der Zähler - Null ist. Du kannst natürlich die 3. Ableitung auch auf normalem Wege ermitteln, nur dass es dann rechenintensiver wird.
Zur Ortskurve:
Es ist der Parameter dann zu eliminieren, wenn man zu der parameterfreien Ortskurve gelangen will. Also ist immer in die gegeben Funktion einzusetzen!
Hier ist es allerdings ohnehin sehr einfach, den die ft-Werte aller Wendepunkte sind ja immer 1. Somit lautet die Ortskurve einfach ft = 1.
Zu c. bitte etwas später, wenn ich mehr Zeit habe (nachmittags).
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1132
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 14:49: |
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Hallo,
nun zu c., das ist leichter, als du denkst:
Für die Höhe der Pflanzen brauchst du nur anstatt t nacheinander 10, 50 und 150 einzusetzen (9,8 cm, 41 cm, 186,6 cm).
Die Wachstumsgeschwindigkeit wird dort am größten sein, wo die Steigung maximal (die Kurve am steilsten) ist! Schaue daraufhin den Graphen nochmals an, in welchem Punkt wird dies wohl zutreffen? (Wenn die Pflanzen gerade 1 m hoch sind, wachsen sie am schnellsten)
Die Grenzen des math. Modells sind dort gegeben, wo die mittels eines eventuell unzureichend konzipierten math. Modells errechneten Werte in Wirklichkeit nicht zutreffen. Denn das natürliche Wachstum ist von verschiedenen Einflüssen (Lebensbedingungen, Grenzpopulation infolge Sättigung, Platzmangel, Wetter, usw.) abhängig, die nicht alle in der mathematischen Gleichung berücksichtigt werden können. Aus diesem Grund kann der tatsächlich erreichte Zustand langfristig erheblich von der mathematisch errechneten Vohersage abweichen.
Daher muss das Modell natürlich möglichst genau an die realen Verhältnisse angepasst und u. U. auch mit mehreren Variablen gearbeitet werden.
Wachstumsprognosen sind eine Wissenschaft für sich und die solche beschreibenden math. Modelle enthalten wesentlich komplexere Funktionen und Variablen als die einfache Beziehung in unserer Aufgabe.
Wir können Wachstumsprozesse in einer ersten Einteilung als exponentiell, beschränkt oder logistisch bezeichnen.
Dazu sind unter
http://sites.inka.de/picasso/Rutsch/exponwa.htm#Exponentielles
interessante Einzelheiten nachzulesen. Unsere Kurve beschreibt im wesentlichen das logistische Wachstum.
Gr
mYthos
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Anastäschen (Anastäschen)
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Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 16:22: |
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1000 Dank lieber Mythos.
Du bist der größte Schatz den es gibt.
Ich glaube ich wäre mit dieser Aufgabe überhaupt nicht klar gekommen,aber durch deine Hilfe.....
Dankeschön nochmals und einen schönen Mittwoch Abend wünsch ich dir!! |
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