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Extremwertaufgabe

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Smilemoon (Smilemoon)
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Neues Mitglied
Benutzername: Smilemoon

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 19:12:   Beitrag drucken

ich hoff, ihr könnt mir heute noch helfen!
Aufgabe: Stellt euch einen quaderförmigen schuhkarton mit einem deckel vor! der deckel überlappt den karton mit 3 cm, die Kantenlänge
a= 20cm(die längeste seite), das Volumen beträgt 4000cm³! wie groß müssen die restlichen abmessungen gewählt werden, so dass der Materialverbrauch des Kartons minimal wird!
bitte helft mir!
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 984
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Mai, 2004 - 12:39:   Beitrag drucken

Hi!

Aus der Aufgabenstellung erhalten wir folgende Gleichungen:

Volumen:
V = abc, also:
4000 = 20bc <=> I c = 4000/(20*b) = 200/b (c sei die Höhe)

Flächeninhalt Deckel:
AD = ab + 2*3a + 2*3b = 20b + 120 + 6b

Flächeninhalt Karton:
AK = ab + 2*bc + 2*ac = 20b + 40c + 2bc

Also Gesamtflächeninhalt:
II A = AD + AK = 120 + 46b + 40c + 2bc


Nun setzen wir I in II ein und erhalten:
A(b) = 120 + 46b + 40*200/b + 2b*200/b = 120 + 46b + 8000/b + 400 = 520 + 46b + 8000/b


Jetzt leiten wir A nach b ab und erhalten:
A'(b) = 46 - 8000/b2


Wir bestimmen nun die Nullstelle(n) von A'(b) und erhalten:
A'(b) = 46 - 8000/b+{2} = 0
<=> b2 = 4000/23

Das liefert uns die postitive Lösung b = 20/23*Ö230.


Jetzt müssten wir strenggenommen diesen Wert in A'' einsetzen und mit A''(b)>0 zeigen, dass es sich hierbei um ein Maximum handelt.
Aber das überlasse ich dir - genauso wie das Ausrechnen der Höhe c.


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei

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