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Frage zur Nullstelle

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Integralrechnung » Integral/Stammfunktion » Frage zur Nullstelle « Zurück Vor »

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Nivecia (Nivecia)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nivecia

Nummer des Beitrags: 78
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 13:14:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich weiß nicht genau wie man das mit dem Integral schreibt. Deshalb schreibe ich jetz Int (a/b) und dahinter die Aufgabe:

Also, ich hab ne Frage zum Integrieren über die Nullstelle. Ich weiß nicht genau, wie ich rechnen muss, wenn ich nicht über die Nullstelle rechnen darf, und wie ich das der Aufgabe überhaupt ansehe, dass ich es nicht darf. Z.B. bei Aufgabe
Int (-1,5/3) (x^3 -2/3x^2 -9/2x)dx darf ich es nicht. Die Aufgabe Int (-1/1) (3-x^3)dx dagegen darf ich "normal" rechnen, also in einem Rutsch, Integral b - a. Ich versteh den Unterschied zwischen der einen und der anderen Aufgabe in Bezug zur Nullstelle nicht.

Grüße
Nivecia
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 359
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 17:20:   Beitrag drucken

Hi,
bei den bestimmten Integralen geht es doch fast immer um Flächenberechnung, wobei alle Flächen als positiv gerechnet werden. Wenn du über eine einfache Nullstelle integrierst, werden die Flächen unter der x-Achse als negativ gerechnet, über der x-Achse aber positiv. Folglich musst du den Integrationsbereich so aufteilen, dass alle Werte darin >= oder <= 0 sind und dann immer über + oder - f integrieren.
In deinem Beispiel hat (3-x^3) keine Nullstelle im Bereich -1 bis 1, also unproblematisch. Das andere Polynom hat dagegen zumindest in 0 totsicher einen Vorzeichenwechsel, d.h. hier musst du die Vorzeichenbereiche (Nullstellen!) bestimmen und den Integrationsbereich aufteilen.
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Nivecia (Nivecia)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nivecia

Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 07:22:   Beitrag drucken

Hallo!
Ja, und woran seh ich das, dass das die eine Aufgabe in 0 einen Vorzeichenwechesel hat und die andere nicht? -1 bis 1 ist ja auch unter 0.

Grüße
Nivecia
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 361
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 18:07:   Beitrag drucken

Hi,
es geht nicht um das Argument 0 sondern um den Funktionswert 0 !!!!
Das Polynom 3-x^3 liegt im Bereich -1 bis 1 garantiert über 2, kann darin folglich keine Nullstelle und somit auch keinen Vorzeichenwechsel haben.
Das andere Polynom kannst du in der Form
x*(x^2 - 2/3*x - 9/2) schreiben, die hinteren Nullstellen kriegst du z.B. mit der pq-Formel raus, bei mir kommt raus 1/3 +- sqrt(83/18), also etwa 0.333 +- 2,147. Also hast du im Integrationsbereich 2 Vorzeichenwechsel: erst positiv, ab 0 negativ, ab 1/3 + sqrt(83/18) positiv.
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Rosalia (Rosalia)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Rosalia

Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 20:15:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich brauche eure Hilfe sehr dringend.
Folgende Aufgabe:
f1(x)=-(2x+1)exp(-x) f2(x)=2(x+1)x^3(x-1)

a)Bestimmen sie die Nulstelle und den Typ der Nullstellen von f1 und f2 und skizieren sie die Graphen von f1 und f2.

b)Bestimmen sie die Größe der Fläche zwischen f2 und der x-Achse im Intervall [-3;2].Begründen sie mit Hilfe der Skizze aus a) ihr Vorgehen.

c)Zeigen sie :F2(x)=(2x+3)exp(-x)ist eine Stammfunktion von f1.
Bestimmen sie die Größe der Fläche zwischen f1 und der x-Achse im Intervall [-2;4].Begründen sie mit Hilfe der Skizze aus a) ihr Vorgehen.

Ich würd mich supi freuen wenn ihr mir helfen könntet.Ist sehr sehr wichtig!!!


ps:
Woran allein erkenne ich an der Funktion ob die Nulstelle eine Schnittstelle oder ein Berührpunkt ist ???

Vielen Dank im Voraus!

gr.rosalia
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1143
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 23:29:   Beitrag drucken

Hallo Rosalia,

wie oft wurde dir schon gesagt, du mögest für eine neue Frage doch auch einen neuen Beitrag eröffnen, und du machst dies schon seit 2 Jahren (fast) nicht (ich habe mir alle deine Threads in dieser Zeit aufgelistet)!

Entweder ist dir das egal bzw. nimmst in Kauf, uns zu ärgern (was ich aber nicht annehmen will), oder man muss davon ausgehen, dass du nicht weisst, wie das geht. Ist Letzteres der Fall, na, da gibt's doch Abhilfe, man kann ja fragen!

Ausserdem motivierst du uns nicht sehr, dir zu helfen. Wie ich in vielen vergangenen Threads gesehen habe, reagierst du kaum, nachdem dir Antworten zuteil wurden, viele Threads enden einfach im Nichts, ohne Dank oder sonst was ...

Hast du eigentlich schon was von Netiquette im Forum gehört? Deine Reaktion auf meine Antwort auf deine vorige Frage läßt dies vermissen.

Nun, nach der m. E. unbedingt einmal notwendigen Kopfwäsche will ich dich nicht ganz im Unklaren lassen und einige Anhaltspunkte geben:

Eine Nullstelle ist immer ein Schnittpunkt mit der x-Achse (f(x) = 0). Wenn sie gleichzeitig auch ein Berührungspunkt ist, ist mindestens die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle ebenfalls Null (f '(x) = 0). Man erkennt dies auch daran, dass bei der Auflösung von f(x) = 0 die entsprechende Nullstelle eine Doppel- oder Mehrfachlösung ist.

Beispiel:

f(x) = x³ - 4x² = 0
x²*(x - 4) = 0
x1,2 = 0, x3 = 4

x1,2 = 0 ist eine doppelte Nullstelle, also gleichzeitig auch ein Berührungspunkt. x = 4 ist eine einfache Nullstelle (ein einfacher Schnittpunkt).

Es ist auch f '(x) = 3x² - 8x und für f '(x) = 0 ergibt sich ebenfalls die Stelle x = 0, dort ist ein relatives Extremum, die x-Achse ist Tangente, somit ist dort ein Berührungspunkt.

Zu a.)

Die Exponentialfunktion e^(x) oder e^(-x) ist nirgends Null, besitzt also keine Nullstellen. Daher kann nur ein etwaiger anderer Faktor (bei f1: 2x + 1) Null sein, also hat f1 bei -1/2 eine einfache Nullstelle.
Bei f2 ist jeder einzelne Faktor Null zu setzen:
x + 1 = 0
x - 1 = 0
x³ = 0
----------
Man sieht, dass bei -1 und + 1 je eine einfache und bei x3,4,5 = 0 eine dreifache Nullstelle vorliegt. Bei x = 0 muss also entweder ein Berührungspunkt oder ein Terrassenpunkt (= Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente) vorliegen, wegen der dreifachen Lösung ist ein Wendepunkt zu erwarten (bei einer vierfachen Lösung wäre es wieder ein Berührungspunkt, einer der 4. Ordnung).

Wir bilden die Ableitungen bis zur dritten:

f(x) = 2*(x² - 1)*x³ = 2x^5 - 2x³
f '(x) = 10x^4 - 6x²
f ''(x) = 40x³ - 12x
f '''(x) = 120x² - 12

Die 2. Ableitung bei x = 0 ist 0, die dritte aber -12, also liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor.

Mit den anderen Teilen b.) c.), die ebenfalls nicht allzuschwer sind, solltest du dich zuerst selbst mal beschäftigen und dann fragen, was dir nicht klar ist.

Gr
mYthos

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