    
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1098
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 13:24: | 
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Hi,
das Skalarprodukt zweier Vektoren a,b ist - in einer geometrischen Definition - gleich dem Produkt der Länge des ersten Vektors mal der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten, in der Skizze also SA * SB'.
Grafik: <Skalarpr1.gif>
Damit kannst Du Dir leicht klarmachen, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren dann gleich dem Produkt der Längen ist, wenn die zwei Vektoren parallel (linear abhängig) sind.
Wenn die Vektoren normal aufeinander stehen, ist deren Skalarprodukt gleich Null; auch das ist einleuchtend, denn dann verschwindet b' zu Null.
Es ist leicht zu ersehen, dass das Skalarprodukt eng mit dem Winkel, den die beiden Vektoren miteinander einschließen, einhergeht:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a, b ist (geometrisch) definiert als das Produkt der Beträge (Längen) dieser Vektoren mal dem Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels (weil es eben das Produkt der Länge des einen Vektors mal der Länge der Projektion des einen auf den anderen Vektor ist).
a.b = |a|*|b|*cos[w(a,b)]
Analytisch geht's noch einfacher, da ist es (z.B. in R³) die Summe der Produkte der x-, y- und z- Komponenten der beiden Vektoren:
a(xa|ya|za), b(xb|yb|zb) - > a.b = xa*xb + ya*yb + za*zb
Das Ergebnis ist jedenfalls eine Zahl (und kein Vektor), die man daher Skalar nennt.
Die Verknüpfung zweier Vektoren mittels des skalaren Produktes zu einem Skalar stellt - weil sie nicht wieder einen Vektor ergibt, sondern einen Skalar - keine innere Verknüpfung dar, sondern ist eine äußere Verknüpfung. Im Gegensatz dazu ist die Vektormultiplikation mittels des Kreuzproduktes eine innere Verknüpfung, denn deren Ergebnis ist wieder ein Vektor.
Das skalare Produkt zweier aufeinander normal stehenden Vektoren ist Null, weil cos(90°) = 0 (die Projektion des einen auf den anderen Vektor verschwindet).
Gr
mYthos
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