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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 658
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 21:26: | 
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Hallo Mitstreiter!
Gerade eben hat mir ein Kollege von einem seltsamen Effekt bei der Berechnung eines Rotationsvolumens erzählt. Es geht um eine Parabel mit der Gleichung y=-x²+a, die um die y-Achse gedreht wird. Das a soll so bestimmt werden, dass der über der x-Achse liegende Teil des Rotationskörpers ein 10 dm³ fassendes Gefäß wird.
Die zugehörige Rechnung sieht nach unserer Meinung so aus:
Die benötigte Umkehrfunktion hat die Gleichung
y=Ö(-x+a)
Das Volumen errechnet sich durch
V=pò0 a(-x+a)dx=p(-x²/2+ax)|0a=p/2*a²
Setzt man nun p/2*a²=10, so ergibt sich für a ein Wert von ungefähr 2,5. Die Einheit müsste dabei doch wohl dm sein.
Setzt man jedoch p/2*a²=10000, rechnet man also mit cm³, so ergibt sich für a ein Wert von etwa 80. (Die Einheit wäre jetzt wohl cm.)
Offenbar sind die Werte nicht gleich. Plausibler ist der zweite - aber warum?
Wir konnten den Fehler bisher nicht finden...
Viele Grüße
Jair
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1621
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 00:17: |
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Bei
Pi/2*a² = 10 dm³
ist die Einheit von a wohl dm^(3/2), während bei
Pi/2*a² = 10000 cm³
die Einheit von a dann cm^(3/2) ist.
Und 2,5 dm^(3/2) = 2,5 * (10 cm)^(3/2) ist ungefähr 80 cm^(3/2).
Oder?? |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1091
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 02:16: |
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Hallo!
Der frappante Fehler liegt in einer falschen Zuordnung der Einheiten, also daran, dass V = PI*a²/2 ist, also vom Quadrat der Größe a abhängt (und nicht etwa vom Kubus).
Die Einheiten für V und das a gehen somit nicht konform mit dm³ und dm, sondern müssen für diese besondere Rechnung mit dm³ zu dm^(3/2) übersetzt werden.
Weder 2,5 dm noch 80 cm sind daher für a richtig!
Die Rechnung für V = 10 dm³ liefert a = 2,52 dm^(3/2) = (2,52)^(2/3) dm, das entspricht rd. 1,85 dm = 18,5 cm
Analog liefert die Rechnung dann für V = 10000 cm³ korrekt a = 79,7 cm^(3/2) = (79,7)^(2/3) cm, das sind wieder 18,5 cm!
Gr
mYthos
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 664
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 13:32: |
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Vielen Dank, Zaph und Mythos, für eure schnellen Lösungen (und das zu nachtschlafender Zeit)!
a hat also die falsche Dimension - darauf muss man erstmal kommen... Trotzdem verstehe ich die Umrechnung noch nicht ganz:
a = 79,7 cm3/2 = (?) 79,72/3 cm
Und jetzt wird mir auch klar, dass die Auswirkungen dieser Geschichte ja viel größer sind als gedacht: Auch wenn ich das Volumen eines Rotationskörpers berechnen will, stoße ich auf dieselben Schwierigkeiten: Betrachte ich etwa den Rotationskörper, den x ® Öx in den Grenzen von 0 bis 1 erzeugt und interpretiere ich 1 als 1 cm, so erhalte ich ein Volumen von p/2 cm³. Schreibe ich aber stattdessen 10 mm, so erhalte ich nur die 100-fache Maßzahl, nämlich 50p (mm³). Kann ich denn auch hier die Grenzen nicht als Längenangaben deuten? Oder darf man nicht in andere Einheiten umrechnen?
Das Analysis-Buch, das ich zu Rate gezogen habe, hält sich geflissentlich aus der Problematik heraus und betrachtet nur Maßzahlen. Ich kann mich auch nicht erinnern, dass ich irgendwann einmal etwas zur Anwendung mit konkreten Einheiten gelesen hätte.
Angesichts der Tatsache, dass man ja heute angewandte Aufgabenstellungen in den Vordergrund bringen möchte, scheint mir hier ein ziemlicher Aufklärungsbedarf zu bestehen.
Viele Grüße,
ein immer noch etwas verwirrter Jair |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1622
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 15:26: |
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Hallo noch mal, war wohl etwas spät gestern Abend ;-)
Natürlich sollte man den LE des Koordinatensystems eindimensionale, real existierende Längeneinheiten zuordnen dürfen.
y = a - x² ist eine Parabel, die die y-Achse bei a und die x-Achse bei b = Öa und -b schneidet.
Das entscheidende hierbei ist wohl, dass sich bei Verdopplung/Verdreifachung/etc. von a keine Verdopplung/Verdreifachung/etc. von b ergibt. Die Parabeln y = 1 - x², y = 1 - 2x², etc. sind somit nicht ähnlich.
Wenn eine LE einen cm entspricht, so ergibt sich mit pa²/2 = 10000, dass a = 79,8 cm und b = 8,9 cm.
Wenn eine LE einen dm entspricht, so ergibt sich mit pa²/2 = 10, dass a = 25,2 cm und b = 15,8 cm.
In beiden Fällen sollte das Volumen 10 Liter betragen.
Gebe zu, dass ich hierüber auch noch nie ernsthaft nachgedacht habe ;-)
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1093
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 22:28: |
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Jair (und auch Zaph), ihr habt das Ganze offensichtlich noch immer nicht ganz durchschaut (es ist ja auch knifflig!) und nehmt mein Ergebnis von 18,5 cm (es sind wirklich echte 18,5 cm, rechnet es doch mal nach) deswegen vielleicht auch nicht zur Kenntnis, obwohl es m.E. eindeutig ist.
--------Zitat:
verstehe ich die Umrechnung noch nicht ganz:
a = 79,7 cm ^(3/2) = (?) 79,7 <(2/3) cm
--------Zitat
Das ist ganz einfach: Wenn die Einheit in cm^(3/2) gegeben ist, muss man mit (2/3) potenzieren (meinetwegen auch die 1,5 te Wurzel ziehen), damit die Einheit exakt cm^(1) = cm wird! Daher muss dies auch mit a = 79,8 LE geschehen, und somit ergibt sich a zu 79,8^(2/3) = 18,5 cm
Ergebenst
mYthos
(Beitrag nachträglich am 21., April. 2004 von mythos2002 editiert) |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 667
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 22:16: |
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Nochmals vielen Dank für die Erklärungen! Wir haben's wohl endlich verstanden. Das bedeutet aber doch wohl, dass immer dann, wenn konkrete Längenangaben als Integralgrenzen genommen werden, eine entsprechende Betrachtung gemacht werden muss - für jede Funktion individuell. Ob sich die Schulbuchautoren darüber schon einmal Gedanken gemacht haben?
Viele Grüße
Jair |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1636
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 15:16: |
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Hallo mYthos!
Du schreibst:
2,52 dm^(3/2) = (2,52)^(2/3) dm
und
79,7 cm^(3/2) = (79,7)^(2/3) cm
Was willst du uns damit sagen?
Immer für neue (mythische?) Mathematik und Physik offen ...
sincerely
Zaph |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1096
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 20:26: |
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Hallo,
da ist meiner Meinung nach nichts gar so My(st)isches dran, es steht eh oben in meiner letzten Antwort:
Wenn ich 2,52 dm^(3/2) [die Einheit ist hier dm hoch (3/2)] in reine dm umwandeln will , muss ich doch mit (2/3) potenzieren, damit dann dm^1 dastehen und das Gleiche muss ich auch mit der Zahl machen: 2,52^(2/3) = 1,85 dm!
Gehe ich von der Lösung 79,7 in cm^(3/2) aus, wird analog verfahren: 79,7 cm^(2/3) = 18,5 cm!
Was will man mehr?
Beste Grüße
mYthos
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1639
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 20:35: |
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Aber du schreibst doch "=". Im Allgmeinen ist ja wohl b^(2/3) etwas anderes als b. Wieso soll das für b = 2,52 dm^(3/2) anders sein???
Z. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1097
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 10:19: |
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Von b habe ich eigentlich nicht gesprochen, sondern von a (b ist offensichtlich die Nullstelle, die du selbst eingeführt hast, von der rede ich aber jetzt nicht, das ist was anderes).
Das a, welches ja gefragt ist, ist der Abschnitt auf der y -Achse und hat als Ergebnis bei der Berechnung - vom Rotationsvolumen V in VE = LE³ ausgehend - die Dimension LE^(3/2), weil es proportional zur Wurzel aus V ist.
Das Ergebnis ist also in LE^(3/2)!
Damit ich die "eindimensionale" LE zurückbekomme, muss ich den Ausdruck mit 2/3 potenzieren, dann erscheint das Ergebnis in LE^1, was ja gewünscht ist.
Ich weiss nicht, wie ich es sonst erklären kann, das = steht zu Recht da, ich sehe nirgends einen Widerspruch. Und ob du nun in dm oder cm rechnest, es kommt endlich immer das gleiche Ergebnis, das ist ja das Schöne, man kann es ja verifizieren.
Sincerely
mYthos
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1645
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 11:28: |
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Sorry, die beiden b's sollen nichts miteinander zu tun haben.
Anyway!
Wir können uns ja mal spaßeshalber auf das Niveau eines Ingenieurs begeben.
Hihi, sollte ein Scherz sein - aber wir tut es trotzdem mal.
Dieser Ingenieur soll eine Blumenvase in Form eines Rotationsparaboloiden fräsen, und die Vase soll ein Fassnugsvermögen von 10 Litern haben.
Mithilfe seines CAD-Programms simuliert er das ganze: Er legt ein dreidimensionales cartesisches Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm zugrunde. Dort lässt er eine Parabel mit der Gleichung
{(x,y,z) | y = 18,5 - x², z = 0}
um die y-Achse rotieren. Nun markiert er noch den Halbraum
{(x,y,z) | y >= 0}
Sodann klickt er im Programm auf "Execute" ... die Maschine fräst vollautomatisch eine wunderschöne Blumenvase ... und der Ingenieur wird fristlos entlassen.
Warum??? |
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