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Istormi (Istormi)
Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 17:52: | 
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Hallo,
es soll folgende Funktion integriert werden mit
f(x)=x^3/(3*(x-1)^2). Durch Polynomdivision komme ich auf f(x)=(1/3)*[x+2+(3x-2)/(x^2-2x+1)]. Dies muss ich nun mittels Partialbruchzerlegung noch vereinfachen, doch leider komme ich nicht sehr weit mit der Methode die wir lernten. Bei der "gelernten" Methode, waren immer 2 reelle Nullstellen vorhanden, hier gibt es nur eine und das ganze System endet mit einer Lösung der Art 2=3?
Kann jemand mal bitte die P.-Zerlegung an diesen oder einen allgemeinen Beispiel erklären.
Vielen Dank
mfg
Stefan |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2149
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 18:13: |
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1ter Summand "logarithmisch", 2ter Summand
durch Substitution x-1 = u wird zu u-2
also einfach integrierbar
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Istormi (Istormi)
Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 18:59: |
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Hmm, eins versteh ich noch nicht und zwar ist das in der vorletzten Zeile. Was wurde mit den +2/3 in der 5. Zeile? Ich würde zu den Klammern noch 3/2*(...+(2/3)/(x²-2x+1)-...) dazu packen. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2150
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 19:13: |
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oh, sorry,
ja, die letzten 2 Zeilen müssen
lauten
•••••••••• Schluderei
kein (x²-2x) sondern (x²-2) in der obigen vorletzten
(Beitrag nachträglich am 16., April. 2004 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3872
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 20:48: |
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Hi Istormi
Das darf nicht so an der Tafel stehen gelassen werden;
Schwamm drüber und tabula rasa!
Die Frage lautete.
„Wie ist bei einer Partialbruchzerlegug vorzugehen,
wenn der Nenner eine doppelte Nullstelle besitzt?“
Ich zeige das an Deinem etwas abgewandelten Beispiel
f(x) = (3x – 2) / (x-1)^2.
Der Ansatz lautet so (und nicht anders!):
(3x – 2) / (x-1)^2 = A / (x-1)^2 + B / (x-1)
A und B sind zwei zu bestimmende Konstanten,
die man durch Koeffizientenvergleich bestimmt.
Rechts kommt, wenn man einen einzigen Bruch schreibt
….= [A + B(x-1)] / (x-1)^2 = [ B X + A – B ] / (x-1)^2;
somit muss gelten, wenn man den Zähler der linken Seite ansieht:
B = 3
A - B = - 2
mithin A = 1, B = 3.
Die Zerlegung lautet also:
(3x – 2) / (x-1)^2 = 1 / (x-1)^2 + 3 / (x-1)
Die Integration liefert:
int [f(x)] dx = - 1/(x-1) + 3 ln (x-1)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2151
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 21:23: |
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ok - wie hast Du mal so nett bemerkt, Megamath: ist immer gut mehrere Lösungsmöglichkeiten zu kennen
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Istormi (Istormi)
Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. April, 2004 - 10:53: |
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Vielen Dank füe eure Hilfe
mfg
Stefan |
