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Katha1985 (Katha1985)
Neues Mitglied
Benutzername: Katha1985
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 07:37: | 
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Hallo!
Wie mache ich das, wenn ich einen Punkt gegeben habe und von diesem Punkt Tangenten an den Graphen legen soll? (Bsp: P (5/0) und
f(x)= (e^x+3)*e^-0,5x)?Wie bekomme ich denn da die Steigung raus? Hab ich mir hier im forum schonmal an einem Beispiel angeschaut, der Punkt wurde irgendwie in die erste Ableitung eingesetzt,aber wieso?und wie er jetzt genau eingesetzt wurde,ist mir auch unklar! |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 07:52: |
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Hallo Katha,
Die erste Ableitung definert die Steigung eines Graphen an jedem beliebigen Punkt x.
An den Extremwerten der Funktion ist die Steigung Null, da ja die Tangente parallel zur x-Achse verläuft. Zur Ermittlung der Extrema setzt du deswegen die erste Ableitung gleich Null und löst nach x auf. So erhälts du die Punkte mit der Steigung Null
Um die Steigung eines beliebigen anderen Punktes zu bestimmen. Leitest du die Funktion ab. Und setzt für x den x-Wert des Punktes ein hier 5.
Beispiel:
f(x)= 3x^2 - 13x - 2
f'(x) = 6x -13
Die Steigung im Punkte P(5/0)ist dann:
f'(5) = 6*5 - 13 = 17
Die Tangente(Gerade) läuft dann durch P(5/0) mit der Steigung 17.
Jetzt solltest du deine Aufgabe selber lösen können.
gruß eviii |
Katha1985 (Katha1985)
Neues Mitglied
Benutzername: Katha1985
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 07:54: |
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Gilt das auch für den Fall, dass P (5/0) nicht zum Graphen gehört? |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:12: |
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Du rechnest mit der ersten Ableitung die Steigung an der Stelle x=5 aus.
Den y-Wert berechnest du mit der Funktion
Hier: f(x)= y = x^2
Zu jedem beliebigen x-Wert gibt es eindeutig einen y-Wert. Nur mittels der Definitionsmenge kannst du einzelne x-Werte ausschließen.
Da du die Steigung nur mit dem x-Wert ausrechnest, kannst du nur überprüfen, ob der Punkt auf dem Graphen liegt, indem du den y-Wert ausrechnest und überprüfst.
Sind das lediglich Definitionslücken, dann kannst du sogar die Steigung zu einem Punkt berechnen der kein Element der Funktion ist.
soweit alles klar
gruß eviii
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Katha1985 (Katha1985)
Neues Mitglied
Benutzername: Katha1985
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:17: |
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er liegt aber definitiv nicht auf dem graphen, und dann? |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:24: |
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Dann rechne den richtigen y-Wert aus.
y= e^(5,5)
Nur im Punkt (5/e^5,5) existiert eine Tangente mit der Steigung für x=5 der Funktion f.
P(5/0) ist kein Funktionswert, es gibt demnach auch keine Tangente, also keine Steigung
eviii |
Katha1985 (Katha1985)
Neues Mitglied
Benutzername: Katha1985
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:30: |
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Mir ist klar wie ich eine Tangente an einem bestimmten Punkt des Graphen ausrechne. Meine Schwierigkeit besteht lediglich darin, eine Tangente von einem völlig beliebigen Punkt an den Graphen zu legen. versteh leider immernoch nicht so ganz was ich machen muss, sorry |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 638
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:34: |
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Hallo Katha!
In dem Fall kommst du wohl nicht um ein Gleichungssystem herum. Berechne die Steigung der Geraden zwischen (5/0) und dem (noch zu berechnenden) Berührpunkt (a/b). Bestimme dann die Steigung im Punkt (a/b) mit Hilfe der Ableitung. Berechne a und b mit Hilfe der beiden Informationen.
Für konkretere Rechnungen habe ich jetzt keine Zeit - vielleicht im Laufe des Tages. Oder es hilft dir jemand anderer weiter.
Viele Grüße
Jair |
Katha1985 (Katha1985)
Neues Mitglied
Benutzername: Katha1985
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:38: |
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das problem ist aber dass der berührpunkt auch nicht gegeben ist! wahrscheinlich muss man den dan zuerst ausrechnen. eigentlich liegt der Punkt P(5/0) ja auch der Geraden y=0,bringt mir das irgendwas? |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:45: |
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Du weißt der Punkt ist Element einer beliebigen Tangente des Graphen.
Also P(5/0).
Die Tangente entspricht der Form mx+t
wir setzten P ein:
mx+t=y
m*5 = -t-----> m=-t/5
f'(x)=-t/5
Auflösen nach x (viel Spaß)
x(t) in f(x)
f(x(t)) dann bekommst du den y-Wert in Abhäniggkeit von t.
mx+t=y, setzt du x(t) und den y-Wert ein
Auflösen nach m liefert die Steigung
Besser?! sorry hatte deine Frage falsch verstanden
eviii
(Beitrag nachträglich am 13., April. 2004 von eviii editiert) |
Katha1985 (Katha1985)
Junior Mitglied
Benutzername: Katha1985
Nummer des Beitrags: 6
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:52: |
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Muss nicht m=-t/5 sein?
Nee verstehs irgendwie nicht, gibs glaub ich auf...trotzdem danke |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 09:15: |
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So habs geändert Danke,
Bist dahin konntest du mir Folgen schön.
Du stellst die Gleichung der Tangente auf, setzt P(x_1/y_1), P(5/0) in I ein.
I mx+t
m=-t/5
Du brauchst jetzt einen zweiten Punkt, der auf der Tangente liegt. Da einzige was du weißt ist,
das er auf dem Graphen liegt und auf der Tangente.
P_2(x_2/y_2)
Die Steigung der Tangente in P_2 ist die erste Ableitung, haben wir ja oben ausführlich erklärt *ggg*
also f'(x_2) = m = -t/5,
II) f'(x_2)=-t/5
nach x_2 auflösen
daraus erhälst du eine Gleichung für x_2
Ein Punkt hat zwei Koordinaten, P_2 liegt auf dem Graphen. den
III) f(x_2)=y_2
m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)
So und wo hängst du?
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Katha1985 (Katha1985)
Junior Mitglied
Benutzername: Katha1985
Nummer des Beitrags: 7
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 09:31: |
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Also zuerst wird die Steigung am Punkt (5/0) berechnet (m=-t/5) oder?Wo setz ich das jetzt überhaupt ein und was bekomme ich dann raus? Was mache ich mit dem Punkt (x_1(y_1)? |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 09:36: |
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P_1(x_1/y_1)=P(5/0)
Jetzt setzt du die Ableitung der Funktion(auch Steigung der Funktion im Punkt x) gleich der Steigung der Tangente.
f'(x)=m, da m =-t/5
f'(x)=-t/5
Löst du diese Gleichung nach x auf, erhälst du den x-Wert von Punkt P_2(x_2/y_2)
eviii |
Katha1985 (Katha1985)
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Benutzername: Katha1985
Nummer des Beitrags: 8
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 09:46: |
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Wieso darf ich das die Steigung von dem Punkt einfach gleich der steigung im punkt x setzen? im Bsp.lautet die Gleichung
f(x)= (x+3)*e^(-0,5x), also wär doch der x-Wert von dem Berührpunkt x= 2t/5-1 oder? dann kann ich den ja einfach in die Gleichung einsetzen um die y-Koordinate zu bekommen. Bleibt dieses t jetzt einfach so stehen? |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 09:56: |
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Ich Überprüfe deine Rechnung mal nicht
Ja du hast dann die x Koordinate und die y Koordinate, in beiden steht ein t.
mmh P_1(5/0) ist Element der Tangenente in P_2.
Für die Tangente gilt als Geradengleichung
I) mx_1+t=y_1
P_2 lieht auch auf der Tangente:
II) mx_2+t=y_2
für die Steigung der Tangenten in P_2 gilt zusätzlich
II) f'(x_2)=m
III) f(x_2)=y_2
Gleichungen 4 unbekannte ---> Lösbar
eviii
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Katha1985 (Katha1985)
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Benutzername: Katha1985
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 10:01: |
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Das ist ja eigtl nur das was ich oben auch gemacht habe oder nicht? Hab den Punkt (x_2/y_2) ja einfach nur bestimmt!
Woher bekomme ich jetzt das Gleichungssystem? |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 10:15: |
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Ich starte mal einen neuen Ansatz, da ich das Gefühl habe die Verstädnisproblematik liegt darin, daß Eviis Lösung zu allgemein gehalten ist.
Also: Du hast die Funktion f(x)=(x+3)e-x/2 und suchst die Tangente(n) an den Graphen, die durch P(5/0) verlaufen. Dazu überlegen wir uns zunächst, wie die Tangentengleichung im Punkt (a/f(a)) allgemein aussieht:
t(x)=f(a)+(x-a)f'(a) [Verständlich?]
In unserem Fall also
t(x)=(a+3)e-a/2+(x-a)(-1/2)(a+1)e-a/2
Damit diese Tangente durch den Punkt (5/0) verläuft, muss t(5)=0 gelten. Das setzen wir in die eben erhaltene Tangentengleichung ein:
0=(a+3)e-a/2+(5-a)(-1/2)(a+1)e-a/2
Diese Gleichung gilt es nun noch nach der Unbekannten a aufzulösen, um die gesuchten Stellen zu finden.
0 = (a+3)e-a/2+(5-a)(-1/2)(a+1)e-a/2
0 = (a+3)+(5-a)(-1/2)(a+1)
0 = -2(a+3) + (a+1)(5-a)
0 = -2a-6 + 5a+5-a²-a
0 = -1+2a-a² = -(a-1)²
Folglich ist der gesuchte Punkte P1(1/f(1))
(wegen bösem Ableitungsfehler nachträglich) korrigiert)
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Katha1985 (Katha1985)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 10:22: |
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Ok das konnte ich jetzt nachvollziehen! woher weiß ich dass die tangente die form
t(x)=f(a)+(x-a)f'(a)hat? |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 845
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 10:32: |
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Hab leider grad keine Zeit mehr, sorry. Erkläre es Dir nachher noch einmal, sofern sich in der Zwischenzeit nicht jemand anderes darum kümmert.
Für den Moment noch soviel: Eine Tangente zeichnet sich dadurch aus, daß sie den Graphen berührt. Es muss also sowohl t(a)=f(a) [Gleicher Punkt], als auch t'(a)=f'(a) [Gleiche Steigung] sein.
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Katha1985 (Katha1985)
Junior Mitglied
Benutzername: Katha1985
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 10:51: |
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Hab es jetzt auch verstanden! Vielen vielen Dank! |
