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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 11:03: | 
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Hallo
Ich habe ein paar Integrale zu ermitteln,
die als leicht eingestuft werden und
einfach zu lösen sein sollen, angeblich mit der linken Hand.
Ich komme auch beidhändig nicht zu recht und bitte um Hilfe.
Die Integrale sind alle unbestimmt und die Integranden f(x)
lauten:
a) f(x) = 1/cos x
b) f(x) = (sin x – cos x) / (sin x + cos x)
c) f(x) = 1 / (1+tan x)
d) f(x) = 1 / (sin x + cos x)
Herzlichen Dank zum Voraus
MfG
Miro2004
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3824
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 12:50: |
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Hi Miro
Ich löse die Teilaufgabe a), weil sie mir gefällt.
Die Lösung liegt sicher nicht auf Jedermanns Hand.
Ich schlage einen Umweg ein und löse zuerst
die analoge Aufgabe
I = int [1/ sin x dx] mit Hilfe der Substitution
x = 2 t; dx = 2 dt
Mit der Doppelwinkelformel des Sinus entsteht:
sin x = sin 2 t = 2 sin t cos t.
Damit entsteht:
I = int [2 dt / (2 sin t cos t) ] = int [dt / ( sin t cos t) ]
Den Bruch im letzten Integranden kürzen
wir mit (cos t)^2, sodass im neuen Nenner
tan t entsteht!
Wir erhalten:
I = int [{1 / (cos t) ^2 } / {tan t} dt]
Im neuen Zähler steht die Ableitung des neuen Nenners,
sodass als Stammfunktion als Lösung für I
ln (tan(t) = ln tan (½ x)
erscheint.
Fortsetzung folgt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3825
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 13:11: |
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Hi Miro
Es folgt die Fortsetzung der Lösung von Teilaufgabe a).
Wir substituieren in Deinem Integral
M = int [1 / cos x dx]
x = ½ Pi – u, also cos x = sin u, dx = - du.
u = ½ Pi - x
es kommt:
M = - int [ du / sin (u) ] = - ln tan [ ½ u]
= - ln tan[( ¼ Pi – ½ x )] = + ln cot[( ¼ Pi – ½ x )]
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MfG
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2131
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 13:13: |
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ich brauch halt etwas länger als mm,
hoffe, doppelt hält besser
für c) versuche es wieder mit u = tan(x/2)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1266
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 13:19: |
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Hi m & m
Ich hab da ne Idee zu b)
cos(x) ausklammern
(tan(x) - 1)/(tan(x) + 1)
int[(tan(x) - 1)/(tan(x) + 1) dx]
Hier Substitution tan(x) = t
==> x = arctan(t) ==> dx = dt/(1+t^2)
int[(t-1)/{(t+1)*(t^2+1)} dt]
Hier Partialbruchzerlegung, Ansatz:
A/(t+1) + (Bt+C)/(t^2+1)
führt auf: A=-1 , B=1 , C=0
int[ -1/(t+1) + t/(t^2+1) dt]
-int[1/(t+1) dt] + int[t/(t^2+1) dt]
Erstes Integral: -ln(t+1)
Zweites Integral: 1/2*ln(t^2 + 1)
Insgesamt:
int[..] = (1/2)*ln(t^2 + 1) - ln(t+1)
Weil Ostern ist schreiben wir das als ein großes Ei:
int[..] = (1/2)*ln[(t^2 + 1) / (t+1)^2]
Insgesamt also:
int[..] = (1/2)*ln[(tan(x)^2+1) / (tan(x)+1)^2]
mfg |
Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 14:18: |
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Hallo mm ,f und ti
Herzlichen Dank für die
instruktiven Lösungen;
da brauche ich einige Zeit,um alles
durch zu arbeiten ; die Eier müssen warten.
MfG
Miro2004
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3828
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 16:44: |
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Hi Miro
Ich notiere noch zwei andere Stammfunktionen U(x) und V(x)
zu der in der Teilaufgabe a) gegebenen Funktion
f(x) = 1/cos(x):
U(x) = ½ ln [(1+sin x) / (1-sin x)]
V(x) = ln [1/cos x + tan x]
Es lohnt sich, der Sache nachzugehen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3829
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 20:36: |
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Hi Miro
Ich löse die Teilaufgabe c) in extenso vor.
Das ist echt lehrreich!
Empfehlung:
Substituiere tan x = u
(der Griff zur Substitution z = tan(x/2) ist
an und für sich gut, gilt jedoch in Insider-Kreisen
als ultima ratio).
Mit der empfohlenen Substitution kommt:
{1+ (tan x)^2} dx = du,
also dx = 1/(1+u^2) du
Aus dem Integral I = int [1 / (1+ tan x) dx
wird:
I = int [1/{(1+u)*(1+u^2)}du]
Das gibt Anlass zu einer netten Partialbruchzerlegung!
Wir beachten:
Der Nenner hat genau eine reelle Nullstelle,
nämlich u =-1, und zwei konjugiert komplexe Nullstellen.
Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
1/{(1+u)*(1+u^2)} = A/(1+u) +(Bu + C)/(1+u^2)
Wir finden für die Koeffizienten A,B,C aus den
Gleichungen
A+B=0;B+C=0;A+C=1 die Werte A= ½, B = - ½ , C = ½.
Das Schlussresultat in u lautet
I = ½ ln(1+u) + ½ arc tan u – ¼ ln(1+u^2)
in x:
I = ½ ln(1+tan x) + ½ arc tan (tan x) – ¼ ln[1+(tan x)^2]
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3830
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. April, 2004 - 22:50: |
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Hi Miro
Ich zeige Dir eine weitere Methode zur Lösung der Teilaufgabe b).
Wir verwenden die goniometrischen Formeln:
sin X + sin Y = 2 sin[½(X+Y)] cos [½(X-Y)]
sin X - sin Y = 2 cos[½(X+Y)] sin [½(X-Y)]
setze darin X = x, Y = ½ Pi – x.
Wir erhalten spezielle Formeln, die sehr gut zum
vorliegenden Integral passen, nämlich:
r=sin x+cos x = sqrt(2) sin(¼ Pi + x) = sqrt(2) cos(¼ Pi - x)
s=sin x-cos x = - sqrt(2) cos(¼ Pi + x) = - sqrt(2) sin(¼ Pi - x)
Der Integrand f(x)ist gleich dem Quotienten f = s/r, also
f(x) = - tan (¼ Pi – x)
Nun substituieren wir (¼ Pi – x) = z, mithin gilt x = ¼ Pi - z,
dx = - dz.
Das gesuchte Integral ist somit
int [tan z dz ] = - ln{cos z} = - ln [cos(¼ Pi-x)]
MfG
H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 07:36: |
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Hi megamath
Besten Dank für Deine lehrreichen Ausführungen.
Ich habe sehr viel davon profitiert.
Nur eine Kleinigkeit lässt mir keine Ruhe…….
Vergeblich versuchte ich eine direkte Herleitung der
von Dir ganz locker erwähnten Stammfunktion V(x)
bei der Teilaufgabe a).
Wie um Himmelswillen kommst Du auf
V(x) = ln [1/cos x + tan x] ???
Ein Rechenweg würde mich seht interessieren.
Herzlichen Dank zum Voraus.
Mit freundlichen Grüßen
Miro2004
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Emil_k (Emil_k)
Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 07:44: |
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hallo,
ich schließe mich auch gleich mit einer Frage an:
ich komme bei d auf keine vernünftige Lösung!
Könnte das bitte noch einer von euch klugen Köpfen ausführen?
mfg
emil |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3840
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 08:52: |
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Hi Emil
Nun ist meine Antwort am richtigen Ort plaziert,
hihi!
Wann ist denn in Deinen Augen eine Lösung vernünftig?
Spaß beiseite!
Gerne zeige ich dir, wie es geht!
Voraussetzung ist allerdings, dass Du alle meine bisherigen
Ausführungen zu der vorliegenden Aufgabengruppe genau
studierst.
Dazu lasse ich Dir ein paar Stunden Zeit!
Es ist möglich, die Teilaufgabe d) auf die Lösung der
Teilaufgabe a) zurückzuführen.
Auch die Teilaufgabe b) ist relevant.
Somit lohnt sich ein Studium aller Teilaufgaben.
Bis dann!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3841
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 09:24: |
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Hi Emil
Hier mein Lösungsvorschlag für die Teilaufgabe d)
Anlässlich der Lösung von b) machte ich Gebrauch
von der goniometrischen Formel
r=sin x+cos x= sqrt(2) cos(¼ Pi - x)
Setze das im Nenner des Integranden ein.
Substituiere (¼ Pi – x) = z , dx = -dz.
Es kommt das Integral
J = - 1/sqrt(2) int [1/cos(z) dz]
also nach a) mit der Variante V(x):
- 1/sqrt(2) ln [1/cos z+tan z]
Substituiere zurück und mache die Probe auf´s Exempel.
Es stimmt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3843
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 09:57: |
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Hi Miro
Das ist schneller ausgedacht als aufgeschrieben!
Die Lösung entsteht durch den spielerischen Umgang mit
dem Integranden, durch genaues Hin- und Voraussehen
und mit viel Glück und mit ein wenig Verstand.
Erweitere den Bruch in f(x) = 1/cos x mit sin x + 1
Wir erhalten
f(x) = (sin x + 1) / [ cos x (sinx + 1)]
Ersetze die Eins durch (sin x)^2 + (cos x)^2
Es entsteht
f(x) = [(sin x +(sin x)^2 +(cos x)^2] / [ cos x (sinx + 1)]
Kürze den Bruch mit (cos(x))^2 und führe den Tangens ein.
Es kommt:
f(x) = [1/cos x * tan x + (tan x)^2 + 1] / [1/cos x + tan x]
HEUREKA!
Im Zähler steht nun genau die Ableitung des Nenners.
Wir wissen alle, was das bedeutet!
Als eine Stammfunktion V(x) bekommen wir den
Logarithmus naturalis des Nenners, also
V(x) = ln [1/cos x + tan x]
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3844
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 10:00: |
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Hi Miro
Noch etwas:
Wir haben nun zwei gesicherte Stammfunktionen für
f(x) = 1 / cos x, nämlich
F(x) = - ln [cos(¼ Pi-x)]
und
V(x) = ln [1/cos x + tan x]
Wir wissen:
Die beiden Funktionen unterscheiden sich um eine
additive Konstante C; es gilt also:
F(x) + C = V(x) für alle zulässigen Werte von x.
Man ermittle den Zahlenwert von C
Antwort
In der Identität setzen wir einen beliebigen (geeigneten) Wert
für x ein, etwa x = 0.
Wir erhalten eine Gleichung für C:
- ln (½ sqrt(2)) + C = 0
daraus C = ln (½ sqrt(2))
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Rosalia (Rosalia)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Rosalia
Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 20:39: |
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hallo!
Ich brauche bis morgen unbedingt eure Verstärkung!!
Sehr sehr dringend.
Aufgabe lautet:bestimmen sie die Werte der folgenden Integrale.
Integralzeichen unten -4 oben 4
daneben steht x^4 sin(x) dx
oder:
Integralzerichen unten 2 oben -3
daneben steht (exp(2x)+cos(x))dx
Ich wäre die glücklichste wenn ihr mir helfen könntet.wirklich!!Ich zähle auf euch!!!!!!!!!
Vielen Dank im Voraus
gr.rosalia |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 322
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 21:06: |
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Hi,
ò-4 4 x^4*sin(x) dx
Als 1. x^4*sin(x) aufleiten:
ò u'v=uv-ò uv'
u'=sin(x) --> u=-cos(x)
v=x^4 --> v'=4x^3
in die Formel einsetzen:
ò sin(x)*x^4 dx=-cos(x)*x^4-ò -cos(x)*4x^3
jetzt machst du das mit dem Integral ò -cos(x)*4x^3 nochmal:
u'=-cos(x) u=sin(x)
v=4x^3 v'=12x²
ò sin(x)*x^4 dx=-cos(x)*x^4-(sin(x)*4x^3-ò sin(x)*12x²)
das machst du jetzt solange, bis nur noch sin oder cos (x) und ein Faktor dasteht. Diesen Faktor kannst du dann rausziehen und die Formel sieht so aus:
-x^4*cos(x)+4x^3*sin(x)+12x²*cos(x)+24x*sin(x)+24*cos(x)
Dort setzt du dann ein:
erst 4 für x und dann rechnest du das ganze mit -4 für x aus. Dann das 1. Ergebnis-das 2. Ergebnix und fertig bist du!
ps: sorry, wenn ich öfters dx vergessen hab...
mfG
ICH
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1085
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 11:56: |
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Dies wird hier ellenlang!
Warum wird nicht für eine neue Frage auch ein neuer Thread eröffnet?!
@Rosalia, das solltest du nach 66 Beiträgen schon langsam wissen, immer wieder haben wir dir das gesagt!
@ICH:
"Aufleiten" ist aus der Schülersprache, korrekt heisst es immer noch "integrieren" oder "Ermitteln der Stammfunktion". Das sollte man beachten, wenn man Fragen von Schülern beantwortet. Wenigstens die Lehrer sollen nach Möglichkeit den korrekten Ausdruck gebrauchen.
Gr
mYthos
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