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Julie27 (Julie27)
Mitglied
Benutzername: Julie27
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. April, 2004 - 17:48: | 
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halli hallo hallöle...
ich hab total das mathe-problem...(ist euch wahrscheinlich klar,sonst wär ich ja net in diesm forum...:-))
und nochwas,ich will das gar nicht zwangsläufig gelöst haben,nur allgemein wissen wie es geht...aber nix gegen die lösungen,da kann man dann besser sein ergebnis überprüfen...:-)
1)zeigen sie dass U ={(x1,x2,x3);x1+2*x2+3*x3 = 0}
ein teilraum von R³ ist und die vektoren b1=(-2,1,0) und b2=(-3,0,1) eine basis von U bilden...
fassen wir den R³ als geometrischen vektorraum auf,wird U zu einer ebene E1(die den nullpunkt enthält).notieren sie eine gleichung von E1...
so die aufgabe hab ich schon gemacht...ausser eben dieses notieren sie eine gleichung von E1...leute glaubt mir,ich hab wirklich null plan,wie ich das machen soll...ebenen sind mir irgendwie suspekt...
2)betrachten sie die drei punkte P=(1,1,1),
Q=(3,q2,q3) und R=(2,5,r3)
die fehlenden komponenten q2,q3 und r3 sollen nun so gewählt werden,dass die vektoren PQ und PR linear abhängig sind und zugleich in E1 (bzw. U) liegen.
warum liegen die drei punkte P,Q und R auf einer gerdan g1??
geben sie eine gleichung dieser geraden an und untersuchen sie deren lage zur ebene E1!!
hier macht mir auch nur der letzte absatz der aufgabe probleme...woher soll ich denn wissen,wie die gleichung der geraden ist??
3)die drei punkte A(0,0,0);B(1,4,-3) und
C(-1,2,3) sind die eckpunkte des dreiecks ABC.dieses dreieck liegt in der ebeneE2.geben sie eine gleichung dieser ebene an...
ja gute frage,wenn ich wüsste wie man die gleichungen von ebenen rauskriegt,würd ichs auch machen!!:-P |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 344
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. April, 2004 - 22:59: |
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Hi,
zur 1) würde ich mal sagen, die Gleichung von E1 ist genau die, die in der Definition von U drinsteht.
Bei der 2) weiss ich auch nicht so genau , was gemeinst sein könnte, weil eine lineare Gleichung nicht reicht, um eine Gerade in R3 zu definieren, da braucht man schon zweie davon.
zur 3) Wenn du zwei linear unabhängige Richtungen hast, die die Ebene aufspannen, kannst du z.B. deren Vektorprodukt (auch äußeres oder Kreuzprodukt) berechnen und hast damit einen Normalenvektor. Für alle Punkte auf der Ebene muss deren inneres Produkt mit der Normale konstant sein, das liefert dir die lineare Gleichung der Ebene. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 614
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. April, 2004 - 23:00: |
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Hallo Julie!
1)zeigen sie dass U ={(x1,x2,x3);x1+2*x2+3*x3 = 0}
ein teilraum von R³ ist und die vektoren b1=(-2,1,0) und b2=(-3,0,1) eine basis von U bilden...
E1 soll also U entsprechen. E1 enthält zunächst einmal (0;0;0), aber auch die Punkte (-2;1;0) und (-3;0;1). Warum? Weil die Koordinaten dieser Punkte die Gleichung x1+2x2+3x3=0 erfüllen.
Die Gleichung einer Ebene erhält man jetzt, indem man die Ortsvektoren aller Punkte dieser Ebene beschreibt. Dazu gibt man zunächst einmal den Ortsvektor eines Punktes der Ebene an. (Diesen gewählten Punkt nennt man auch Antragspunkt.) Von diesem Punkt aus geht man dann beliebig weit in alle mögliche Richtungen der Ebene. Dazu benötigt man 2 linear unabhängige Vektoren der Ebene, normalerweise die Differenzvektoren zu den Ortsvektoren des Antragspunktes und jeweils eines der beiden anderen Punkte. Was sich jetzt so kompliziert anhört, ist in Wirklichkeit sehr einfach:
Wähle in unserem speziellen Fall als Antragspunkt den Ursprung O (0;0;0). Dann sind die beiden linear unabhängigen Vektoren OA = (-2-0;1-0;0-0)=(-2;1;0) und 0B=(-3;0;1). Von O aus beliebig weit in alle Richtungen zu gehen, bedeutet, alle Linearkombinationen von OA und OB zuzulassen. Dann lautet die Gleichung von E1 also:
x = (0;0;0)+k*(-2;1;0)+l*(-3;0;1)
bzw. einfacher
x = k*(-2;1;0) + l*(-3;0;1)
Fertig!
2)
Ich fürchte, mit der Lösung dieser Aufgabe muss ich wohl bis morgen warten, wenn ich nicht mehr so müde bin. Eigentlich sollte sie sehr leicht zu lösen sein, aber ich stoße auf einen Widerspruch, den ich offenbar heute Nacht nicht auflösen kann.
3)
Das ist wieder ganz einfach - genauso wie in Aufgabe 1:
x=(0;0;0) + k*(1-0;4-0;-3-0) + l*(-1-0;2-0;3-0)
oder noch einfacher
x= k*(1;4;-3)+l*(-1;2;3)
Viele Grüße
Jair |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 615
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. April, 2004 - 06:19: |
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Guten Morgen!
So, ich hab's! Es ist mir eingefallen, dass der Punkt P(1;1;1) ja gar nicht auf der Ebene E1 liegt. Die Koordinaten heißen ganz bestimmt (1;1;-1). Für Q ergibt sich (2;5;-4) und für R (3;9;-7). So weit bist du ja (nach deinem Posting) selbst gekommen.
Bilde nun einmal den Differenzvektor PQ = (2-1;5-1;-4-(-1))= (1;4;-3). Wenn du diesen Vektor zum Ortsvektor von P addierst, ergibt sich natürlich wieder der Ortsvektor von Q. Klar, denn auf diese Weise haben wir ja PQ gebildet. Wenn du ihn aber zweimal zum Ortsvektor von P addierst, erhältst du auch den Ortsvektor von R - und das ist etwas Besonderes. Es bedeutet nämlich, dass PQ und PR linear abhängig sind. Damit sind die Geraden PQ und PR nämlich parallel, und weil sie ja mindestens einen Punkt (P) gemeinsam haben, fallen sie sogar zusammen. Die 3 Punkte liegen also auf ein und derselben Geraden.
Die Gleichung dieser Geraden erhält man ähnlich wie die Gleichung einer Ebene:
Man benötigt den Ortsvektor eines Punktes (des sog. Antragspunktes, z.B. (1;1;-1)) und den Richtungsvektor der Geraden. Letzteren erhält man, indem man den Differenzvektor zu zwei beliebigen Punkten der Geraden berechnet. Wir haben das oben bereits mit (2;5;-4) und (1;1;-1) gemacht, könnten aber auch jede andere Kombination von zweien der drei gegebenen Ortsvektoren benutzen, z.B. (3;9;-7)-(1;1;-1)=(2;8;-6)=2*(1;4;-3)
Eine Gleichung der Geraden erhältst du jetzt, indem du zum Ortsvektor des Antragpunktes alle Vielfachen des Richtungsvektors addierst:
x=(1;1;-1)+k*(1;4;-3)
Richtig wäre aber z.B. auch
x=(2;5;-4)+k*(1;4;-3) (Antragspunkt Q)
oder
x=(3;3;-7)+k*(2;8;-6) (Antragspunkt R, verdoppelter Richtungsvektor)
Wichtig ist nur, dass du als Antragspunkt einen beliebigen Punkt der Geraden wählst und als Richtungsvektor ein beliebiges Vielfaches eines Differenzvektors zu 2 Punkten, die beide auf der Geraden liegen. (Gewöhnlich nimmt man den Differenzvektor selbst. Das 0-fache des Vektors darfst du natürlich nicht benutzen.)
Jetzt habe ich mich ziemlich lang über dieses eigentlich recht einfache Thema ausgelassen. Aber ich hoffe, dass dir meine Ausführungen ein bisschen Klarheit gebracht haben. Andernfalls frag bitte noch einmal nach! Geraden- und Ebenengleichungen musst du unbedingt aus dem Handgelenk beherrschen, wenn du in Mathe bis zum Abitur kommen willst.
@Sotux: Du hast da vermutlich etwas verwechselt. Julie muss keine Geraden- und Ebenengleichungen in Normalenform angeben, sondern irgendwelche Gleichungen. Möglicherweise hat sie die Normalenformen noch gar nicht kennen gelernt. Und in Parameterform kann man ja eine Geradengleichung auch im R³ ohne weiteres angeben.
Viele Grüße
Jair |
Julie27 (Julie27)
Mitglied
Benutzername: Julie27
Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. April, 2004 - 07:33: |
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hi jair...
schonmal vielen dank für deine hilfe...
aber hier steht wirklich in meiner aufgabe
P = (1,1,1)..!!
was mach ich denn jetzt??
grüße
julie |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 618
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. April, 2004 - 13:18: |
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Hi Julie!
Wenn da wirklich (1;1;1) steht, ist das offenbar ein Druckfehler. Andernfalls liegt der Punkt nämlich nicht in E1. Dann gibt es aber auch keine linear abhängigen Vektoren PQ und PR, die in E1 liegen.
Viele Grüße
Jair |
Julie27 (Julie27)
Mitglied
Benutzername: Julie27
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. April, 2004 - 14:57: |
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ok,danke...:-)
klingt logisch...
gruß
jule |
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