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Francesco (Francesco)
Neues Mitglied
Benutzername: Francesco
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 22:29: | 
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Brauche Stammfunktion von (2e^x)*(cos(x)^2). Mögliches Verfahren ist nicht vorgegeben |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2118
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 11:48: |
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cos²x = (1 + cos(2x) )/2
I = integral[dx*2*ex(1 + cos(2x)/2] = ex+Integral[dx*excos(2x)] = ex+U
Partielle integration für U = Integral[dx*excos(2x)]
dx*cos(2x) = dv, v = sin(2x) / 2, ex=u, du = exdx
U = u*v - Integral(v*du) = ex sin(2x) / 2 - Integral[dx*exsin(2x) / 2]
V = Integral[dx*exsin(2x) ]; dx*sin(2x) = dr; r = -cos(2x) /2; ex = s
V = r*s - Integral[ r*ds] = -excos(2x) /2 + Integral[dx*excos(2x) /2 ]
V = -excos(2x) /2 + U / 2
U = ex sin(2x) / 2 - [ -excos(2x) /2 + U / 2 ]/2
diese Gleichung nun nach U auflösen und oben einsetzen
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3787
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 18:35: |
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Hi Francesco
Darf ich Dich darauf aufmerksam machen,dass eine Verallgemeinerung Deines Integrals
in der Lockeren Folge Nr 294 weiter unten
in der Form eier Rekursionsformel erscheint.
Vielleicht kannst Du davon profitieren.
Beachte aber,dass das Niveau
potentiellen Mathematikstudenten angepasst ist.
Hoffentlic bleibt erst recht etwas hängen!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3788
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 19:04: |
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Hi Francesco
Setze in der erwähnten Rekursionsformel n = 2 ; beachte dabei, dass
E(0) mit int [e^x dx ] = e^x übereinstimmt.
Du bekommst das erwünschte Resultat
J(2) = int [e^x (cos x )^2 dx ] =
1/5 * [(cos x + 2 sin x) * e^x cos x +2 e^x] + C
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Mache die Probe durch Differenzieren!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Francesco (Francesco)
Neues Mitglied
Benutzername: Francesco
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. April, 2004 - 23:17: |
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@Megamath
Habe jetzt nicht ganz verstanden was du meinst - was ist eine Rekursionsfolge?
@Friedrichlaher
Vielen Dank für die Hilfe - konnte deine Rechnung sehr gut nachvollziehen - habe daher auch als einzigster die Aufgabe von unserem Leistungskurs rausbekommen (ausser die die mit DERIVE beschissen haben...)
Partielle Integration war mir auch schon klar, aber ich bin nicht auf den Schritt cos²x = (1 + cos(2x) )/2 gekommen....
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Rosalia (Rosalia)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Rosalia
Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 20:32: |
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hallo!
Ich brauche bis morgen dringend eure Verstärkung.
Die Aufgabe lautet:bestimmen sie mit Hilfe des Ansatzes F(ax^2+bx+c)exp (-5x) eine Stammfunktion von f(x)= (x^2-x+2)exp 8-5x).
Überprüfen sie ihr Ergebnis.
ich wäre mega froh wenn ihr mir helfen könntet.
Ich schreib sehr bald Klausur.
gr.rosalia |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1084
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 11:07: |
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Hi!
Bitte eröffne für eine neue Frage auch ein neues Thema und achte auch auf Tippfehler in deiner Angabe (..exp 8-5x)!
Wenn der Typ der Stammfunktion bereits "bekannt" ist, benützt man die Umkehrung des Integrierens, also die Tatsache, dass die Ableitung der Stammfunktion (+ eine additive Konstante C) wiederum die gegebene Funktion sein muss:
F'(x) = f(x)
[(ax² + bx + c)*(exp(-5x))]' = (x² - x + 2)*exp(-5x)
Die Ableitung links geschieht nach der Produktregel:
(2ax + b)*exp(-5x) - 5(ax² + bx + c)*exp(-5x) = (x² - x + 2)*exp(-5x)
(-5ax² + 2ax - 5bx + b - 5c)*exp(-5x) = (x² - x + 2)*exp(-5x)
beide Seiten div. durch exp(-5x), Koeffizienten links bei gleichen Potenzen zusammenfassen:
-5ax² + (2a - 5b)x + (b - 5c) = x² - x + 2
Da beide Seiten gleich sein sollen, folgen durch Koeffizientenvergleich 3 lineare Gleichungen in a, b, c:
-5a = 1
2a - 5b = -1
b - 5c = 2
--------------
Löse selbst und setze dann in F(x) ein und addiere zum Schluss noch die Integrationskonstante C.
[Lösung: F(x) = (-25x² + 15x - 47)*exp(-5x)/125 + C]
Gr
mYthos
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