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Matrizen und Verständnisfragen

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Marcohof (Marcohof)
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Mitglied
Benutzername: Marcohof

Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. März, 2004 - 17:25:   Beitrag drucken

Hallo!!! Befasse mich z.Zt. interessehalber mit Matrizen...die verwendete Literatur lässt aber zu wünschen übrig...hoffe ihr könnt mir etwas helfen!

So geht nicht klar hervor, was nun ein homogenes LGS mit nichttrivialen Lösungen ist (hat das was mit 0 0 0 zu tun???)
bzw. ein inhomogenes LGS mit genau einer Lösung, keiner oder parameterabhänigigen Lösungen ist...
wo liegt der unterschried zwischen den LGS-Typen bzw was deuteten die Ausdrücke in einfachen deutsch??? Gibt es eine verständliche Erklärung?

Und die Sache mit den Eigenwerten und Eigenvektoren einer 3x3 Matrix z.B verstehe ich garnicht...!!!Hoffe jemand von euch kann mir da helfen...

Bin euch für jede Art von Hilfe dankbar und wenn jemand noch was wissenswertes zum Thema weiß...nicht zögern und schreiben...

Besten Dank
Marco
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 826
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. März, 2004 - 00:01:   Beitrag drucken

Hm...ziemlich viele Fragen, die man hier wohl nicht in der Ausführlichkeit eines Buches beantworten kann, daher versuche ich mal die Kurzversion.


Ein Gleichungssystem läßt sich stets in der Form Ay=b schreiben, wobei A eine mxn-Matrix, y ein Vektor aus Vn und b ein Vektor aus Vm ist. Ist nun b=0 so spricht man von einem homogenen GLS, ist b¹0, so ist es inhomogen.
Jedes homogene GLS hat eine triviale(=äußerst einfache) Lösung, nämlich y=0. Unter einer nicht-trivialen Lösung, versteht man folglich solche, bei denen y¹0 ist.

Jedes GLS, egal ob homogen oder inhomogen, besitzt entweder unendlich viele Lösungen(Beispiel: x+y=0) oder genau eine Lösung(Beispiel: x+y=2 und x-y=0). Ein inhomogenes kann darüber hinaus auch unlösbar sein. (Beispiel: x=1 und x=0)

Dann zu den Eigenwerten/Eigenvektoren. Diese Begriffe entstammen der Theorie über lineare Funktionen. Unter einem Eigenvektor versteht man all jene Vektoren, die durch eine lineare Funktion f auf ein Vielfaches von sich abgebildet werden. (Beispiel: f(x,y)=(x,0) besitzt die Eigenvektoren (x,0)). Das Vielfache bezeichnet man dann als Eigenwert.

So, das war nun ein kurzer Ausblick auf das doch recht umfangreiche Thema Matrizen und lineare Abbildungen. Hoffe ich konnte Dir weiterhelfen. Wenn nicht melde Dich noch einmal, meinetwegen auch per Mail.
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Marcohof (Marcohof)
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Mitglied
Benutzername: Marcohof

Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 15:03:   Beitrag drucken

@ Ingo:Ersteinmal Danke für deine schnelle und gut verständliche Antwort

Was die LGS betrifft bin ich dahintergestiegen und glaub, dass ich das soweit kapiert habe... doch leider habe ich in Puncto Eigenwert/Eigenvektoren nocht nicht wirklich den Durchblick...
Hab es an einem Bsp. versucht...mache aber irgendwas falsch;-((
Wie berechne ich nun den Eigenwert und die Eigenvektoren der 3x3 Matrix

. .(11 -1 1)
A =( -1 9 -1)
. .(1 -1 9)
(die Punkte bitte nicht beachten!!!)

Hoffe, dass sich jemand trotz der "Hitzewelle" die Zeit nehmen kann um mir diese Aufgabe zu erleutern...

vorab schonmal Besten Dank !!!!

Gruß Marco
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 828
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 22:46:   Beitrag drucken

Auch hier empfielt es sich, erst einmal ein wenig allgemeiner anzusetzen.

Sei v Eigenvektor und l der zugehörige Eigenwert. Dann gilt Av=lv
Dies ist äquivalent zu Av-lv=0 bzw. (A-lE)v=0.
Da v=0 als Eigenvektor nicht zulässig ist, suchen wir also nichts anderes als eine nichttriviale Lösung v dieser Gleichung.

Nun hast Du zwei Möglichkeiten: Etwas mehr Theorie der Matrizenrechnung reinstecken und den allgemeinen Weg weitergehen, oder konkreter auf dein Beispiel Bezug nehmen.
Im letzteren Fall müsstest Du versuchen, die Matrix A-lE mittels elementarer Umformungen auf Diagonalgestalt zu bringen und dann über die Elemente der Diagonalen die Eigenwerte zu bestimmen. Jede Lösung des GLS mit dem konkreten Wert für l ist dann ein Eigenwert.
Bevorzugst Du die allgemeinere Variante(was natürlich wesentlich mathematischer wäre), so geht es wiefolgt weiter:
Das GLS (A-lE)v=0 besitzt genau dann einen nicht-triviale Lösung, wenn die Matrix (A-lE) singulär ist(keinen vollen Rang hat). Dies wiederum ist gleichbedeutend mit det(A-lE)=0. Man kann sich überlegen, daß det(A-lE) ein Polynom vom Grad n ergibt, dessen Nullstellen nach dem oben gezeigten, genau die Eigenwerte der Matrix A sind. Das Eigenwertproblem wird somit auf ein Nullstellenproblem zurückgeführt, das schlimmstenfalls mit Näherungsmethoden gelöst werden kann.
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 331
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 23:00:   Beitrag drucken

Hi Marco,
die Eigenwerte bekommst du z.B. als Nullstellen der Determinante von A-a*I, wenn I die Einheitsmatrix ist:
Ax=a*x ist ja gerade die Bedingung für einen Eigenvektor x zum Eigenwert a, d.h. den gibts nur, wenn der Rang von A-a*I < 3 ist, also die Determinante 0 ist. Im vorliegenden Fall (n=3) kannst du sogar noch die Cramersche Regel nehmen, ich bekomme dann raus (11-a)*(9-a)^2+1+1-2*(9-a)-(11-a)
= (9-a)*[(11-a)*(9-a) - 3], d.h. 9 ist jedenfalls einer der Eigenwerte.
Wenn du einen Eigenwert bestimmt hast, kannst du das zugehörige homogene Gleichungssystem lösen und hast so den passenden Eigenvektor (oder mehrere, wenn die Nullstelle mehrfach war).
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Marcohof (Marcohof)
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Mitglied
Benutzername: Marcohof

Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. April, 2004 - 10:56:   Beitrag drucken

Tach auch!!!
Nochmals besten Dank an Ingo und Sotux!!!

Für den Fall, dass sich noch jemand anderes mit diesem Eintrag beschäftigen möchte...habe die Aufgabe letztlich doch berechnen können und wollte nur die Ergebnisse zu oben gestellter Aufgabe nachsenden...

Also:
das Polynom 3ten Grades der det(A-LE) lautet:
-L^3+29L^2-276L+864
und hat die Nullstellen 8, 9 und 12
Somit sind dies also auch die Eingenwerte...

die Eigenvektoren lauten (als liegender Vek geschrieben...)

Eigenvektor zu L=8: x=[0;t;t] mit t=/=0

Eigenvektor zu L=9: x=[-t;-t;t] mit t=/=0

Eigenvektor zu L=12: x=[2t;-t;t] mit t=/=0

ENDE

Nochmals Danke und weiterhin viel Erfolg...
Gruß Hof

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