| Autor |
Beitrag |
    
Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 08:28: | 
|
Hallo
Ich soll für die Kurve,
2 x ^2 +3 x y - 2 y ^ 2 - 4 x - 3 y - 23 = 0
die Steigungen der Asymptoten berechnen.
Wie kann ich das machen?
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar
Miro 2004
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1214
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 13:50: |
|
Hi,
das ist ganz einfach:
Dividiere die Gleichung durch x^2:
2 + 3 (y/x) - 2 (y/x)^2 - 4/x - 3 y / x^2 - 23/x^2 = 0
Lasse nun x ad infinitum laufen. der Term y/x und nur dieser wird zur Steigung m der Asymptoten! Der Rest wir zu null!
Wir erhalten also eine schöne quadratische Gleichung in m:
2m^2 - 3m - 2 = 0
mit m = 2 und m = -(1/2)
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3728
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 15:19: |
|
Hi Miro 2004
Die Gleichung in x,y ist quadratisch; es handelt sich um einen
Kegelschnitt, offensichtlich um eine Hyperbel.
Im Folgenden beziehe ich mich auf die übliche Darstellung
der allgemeinen Gleichung zweiten Grades in x und y:
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0.
In dem von Dir vorgelegten Kegelschnitt (KS) gilt
A = 2, B =3/2, C = - 2 , D = - 2 , E = - 3/2 , F = 23.
Bevor man zur Hauptachsentransformation übergeht,
lässt sich die Art des KS mit einer einfachen Determinante
ermitteln.
Wir berechnen den Term delta = A C – B^2 = - 25/4
Da delta negativ wird, handelt es sich um eine Hyperbel.
Die Steigungen m1, m2 der Asymptoten ergeben sich aus
der quadratischen Gleichung in m:
C m^2 + 2 B m + A = 0 , also
- 2 m^2 + 3 m + 2 = 0 ; Lösungen: m1 = 2 , m2 = -1/2
Da die Asymptoten aufeinander senkrecht stehen,
handelt es sich um eine Normalhyperbel.
Mehr ist nicht gefragt.
Ferdi hat auch schon geantwortet,wie ich soeben feststelle
Daher Ende gut, alles gut!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 15:50: |
|
Hallo Ferdi, Hallo megamath
Ich danke Euch für die rasche Hilfe
Ich habe den Grundgedanken, so glaube ich, erfasst.
Wie müsste man vorgehen, wenn die Gleichungen
der Asymptoten anzugeben sind?
Nochmals: vielen Dank!
Mit freundlichen Grüßen
Miro 2004
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3733
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 20:38: |
|
Hi Miro2004
Die Gleichung einer Asymptote kann folgendermaßen
gefunden werden:
Wir zeigen die Berechnung für diejenige Asymptote a1,
deren Steigung m = 2 beträgt.
Ansatz für eine Gleichung von a1:
y = 2 x + q
Es geht nun darum, die Konstante q zu ermitteln.
Wir setzen den Ansatz in die Gleichung der Hyperbel ein
und vereinfachen; bezeichnenderweise heben sich die
quadratischen Terme in x weg!
Es bleibt:
- 5 q x – 2 q^2 – 10 x – 3 q – 23 = 0
Jetzt dividieren wir beide Seiten mit x; es kommt:
5 q + 2 q^2 / x + 10 + 3 q / x + 23 / x = 0
Lassen wir x gegen unendlich sterben
so erhalten wir eine Gleichung für q , nämlich:
5 q + 10 = 0
q = - 2
Die Gleichung der ersten Asymptote lautet:
y = 2 x – 2.
°°°°°°°°°°°
Analog erhält man für die zweite Asymptote die Gleichung
y = - ½ x + ½
°°°°°°°°°°°°°°
Die Asymptoten schneiden sich im Mittelpunkt M(1/0) der
Hyperbel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3734
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. März, 2004 - 09:45: |
|
Hi Miro2004-03-21
Es gibt noch einen anderen Weg, die Gleichungen der
Asymptoten aufzustellen, wenn ihre Steigungen
gegeben sind.
Man ermittelt die Koordinaten des Mittelpunktes M
der Hyperbel durch implizites Differenzieren
der Hyperbelgleichung.
Wir erhalten aus
2 x ^2 + 3 x y - 2 y ^ 2 - 4 x - 3 y - 23 = 0
durch Differentiation:
4 x + 3 y + 3 x y´- 4 y y´- 4 – 3 y´= 0
Auflösung nach y´:
y´= [4 – 4 x – 3 y ] / [ 3 x – 4 y – 3]
Setze einerseits y´= 0, andrerseits 1/y´= 0.
Wir erhalten damit ein Gleichungssystem zur
Ermittlung der Koordinaten von M:
4 – 4 x – 3 y = 0
3 x – 4 y – 3 = 0
Lösung: x= 1, y = 0, also M(1/0).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. März, 2004 - 19:47: |
|
Hallo megamath
Vielen herzlichen Dank für Deine Lösung.
Sie hat mich beeindruckt: eine Sternstunde!
Mit freundlichen Grüßen
Miro 2004
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3740
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. März, 2004 - 20:00: |
|
Hi Miro 2004
Danke für die lobenden Worte!
Du findest weitere Sterne, sogar den Polarstern.
Schau bei der laufenden Serie
„Lockere Folge (LF)“ weiter unten nach.
Dort findest Du Methoden, wie man
die Asymptoten bei
der Polarkoordinatendarstellung
von Kurven findet.
Das ist auch recht interessant und vor allem
lehrreich!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
