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_caro_ (_caro_)
Junior Mitglied
Benutzername: _caro_
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 16:49: | 
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Wir haben in Mathe folgende Aufgabe bekommen:
Gib für die drei Koordinatenebenen je eine Parameterdarstellung an!
Was muss ich jetzt machen, ich habe überhaupt keine Ahnung, was die von mir wollen?!
Danke im Vorraus |
Analysist (Analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Analysist
Nummer des Beitrags: 288
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 17:11: |
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Hallo Caro,
ist super einfach.
Normalerweise bastelt man sich eine Parameterdarstellung aus 3 Punkten. Es geht hier zwar einfacher (s.unten), aber ich mach's mal ausführlich:
Fangen wir mit der 1. Koordinatenebene an, die x-y-Ebene (seit Klasse 5 bekannt).
Ich gebe mal 3 beliebige Punkte in der x-y-Ebene an, die nicht gerade auf einer Geraden liegen:
A(3/5/0); B(2/-1/0); C(7/1/0)
Für die Parameterdarstellung braucht man einen Stützvektor (Anknüpfungsvektor), der auf die Ebene führt, sowie 2 Richtungsvektoren, die in der Ebene liegen.
Als Stützvektor wählt man den Ortsvektor von einem der drei Punkte, der Einfachheit halber A
Vektor (5/3/0)
Als Richtungsvektoren bildet man die Verbindungsvektoren von A nach B und von A nach C:
1. RV: Vektor B - VeKtor A = Vektor (-1/-6/0)
2. RVV Vektor C - VeKtor A = Vektor (4/-4/0)
Parameterdarstellung der Ebene:
vektor x = Stützvektor + k* 1. RV + l*2.RV, also hier:
Vektor x = (5/3/0) + k*(-1/-6/0)+ l*(4/-4/0)
So könnte man das bei den anderen Ebenen auch machen.
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Einfacher geht's mit etwas Überlegung:
1.Da die Koordinatenebenen durch den Ursprung gehen, brauche ich gar keinen STützvektor, der mich auf die Ebene führt (oder etwas mathematischer: ich nehme den Nullvektor als Stützvektor).
2. Die x- und die y-Achse spannen die Ebene auf, der einfachste Vektor auf der x-Achse ist Vektor (1/0/0), der einfachste auf der y-Achse Vektor(0/1/0).
Parameterform der x-y-Ebene:
vektor x = k*vektor (1/0/0) + l*vektor (0/1/0)
Statt k und l kann man natürlich auch andere Parameter verwenden (Z.B. lambda und mü)
Analog erhält man für die x-z-Ebene:
vektor x = m*vektor (1/0/0) + n*vektor (0/0/1)
und für die y-z-Ebene:
vektor x = r*vektor (0/1/0) + s*vektor (0/0/1)
Gruß
Peter
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_caro_ (_caro_)
Junior Mitglied
Benutzername: _caro_
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 17:20: |
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Dankeschön, dass hat mir echt weitergeholfen ... Wir haben das Thema neu angefangen und ich habe halt noch überhaupt keine Ahnung.
Noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe hätte ich: Wie prüfe ich ob die folgenden vier Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen?
A (0/1/-1)
B (2/3/5)
C (-1/3/-1)
D (2/2/2)
Wie muss ich da vorgehen?
Wenn ich nur einen Punkt habe und eine Gleichung ist es ja klar, aber hier weiß ich nicht wie ich es anfangen soll. |
Analysist (Analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Analysist
Nummer des Beitrags: 290
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 17:29: |
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Hallo Caro,
du bastelst aus den ersten 3 Punkten eine Ebenengleichung (wie oben):
vektor x = vektor (0/1/-1) + k*vektor(2/2/6)+l*vektor(-1/2/0))
Jetzt hast du die Gleichung, in die du einsetzen kannst:
2=2k-l
2=1+2k+2l
2=-1+6k
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k=1/2 (aus 3)
2=1-l
2=2+2l
------
l=-1
l= 0 Widerspruch, also liegen die 4 Punkte nicht in einer Ebene.
Du hättest auch aus 3 anderen Punkten die Ebenengleichung aufstellen können, und dann den 4. Punkt darin überprüfen.
Gruß
Peter
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