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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 165
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 17:39: | 
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f’(x) = lim (h gegen 0) von (f(x+h)-f(x))/ h
Warum steht der Term
(f(x i+1) - f(x i))/( (x i+1) - x i)
auch für eine Ableitung??
Im voraus vielen Dank. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 999
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 21:03: |
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Hi Katrin,
abgesehen davon das ich nicht verstehe was "x i" sein soll (index i ????) ist das auch keine Abbleitung was du dort mit "xi" notiert hast, es fehlt nämlich der "Limes". Der Limes ist es, der den "Differenzenquotienten" zum Differentialquotient also zur Ableitung macht....
mfg
N. |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 166
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. März, 2004 - 08:58: |
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Hallo!
Ja, i und i+1 sind die Indices.. wie lautet da der Grenzwert? i gegen unendlich? Und warum steht das dann gleichbedeutend mit einer Ableitung? |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 309
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. März, 2004 - 22:39: |
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Hi,
ich gehe mal davon aus, dass x(i) eine konvergente Folge ist (mit x(i) ungleich x(i+1) für fast alle i) und dann sollte der Grenzwert von deinem Term für i--> oo in der Tat die Ableitung an diesem Grenzwert sein, wenn f dort stetig diffbar ist. Das ist allerdings leichter anschaulich zu begründen als exakt nachzurechnen: für große i sind die x(i) schon nahe beim Grenzwert x und daher x(i) und x(i+1) notgedrungen sehr nah beeinander, so dass man in etwa den gleichen Wert wie (f(x)-f(x(i)) / (x-x(i)) hat. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1582
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 00:12: |
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Sehe ich auch so.
Wenn x = limi -> oo xi
dann f '(x) = limi -> oo [f(xi+1) - f(xi)] / [xi+1 - xi]
Und natürlich kann man dies auch exakt (und nicht nur anschaulich) begründen.
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1583
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 00:15: |
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"f an der Stelle x stetig differenzierbar" ist wohl unnötig ... "differenzierbar" reicht. |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 167
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 15:44: |
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Danke für all die Antworten! Wie kann man es denn exakt begründen, dass es sich um eine Ableitung handelt?? Irgendwie habe ich das noch nicht so verstanden.  |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1585
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 17:25: |
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O, da war ich wohl etwas voreilig ... die Stetigkeit der Ableitung ist wohl doch notwendig. Ansonsten gilt das nicht ... |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1586
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 18:10: |
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Kennst du den Mittelwertsatz? |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 312
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 22:32: |
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Hi Katrin,
Wenn der Grenzwert der x(i) x ist, soll der Grenzwert deines Bruches f'(x) sein. Hier kommt die Stetigkeit der Ableitung und der Mittelwertsatz, den Zaph erwähnt hat, ins Spiel. Der Mittelwertsatz sagt (in etwa), dass der Differenzenquotient einem Ableitungswert in dieser Gegend entspricht, und die Stetigkeit der Ableitung garantiert dann, dass dieser Wert gegen den an der Stelle x konvergiert. |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 169
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. März, 2004 - 13:17: |
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"Der Mittelwertsatz sagt (in etwa), dass der Differenzenquotient einem Ableitungswert in dieser Gegend entspricht [...]"
Was ist mit "dieser Gegend" gemeint?? Der Mittelwertsatz ist mir nicht bekannt. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1589
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. März, 2004 - 16:27: |
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Hallo, war ein paar Tage nicht da.
Der Mittelwertsatz besagt
Wenn f eine auf dem Intervall [a,b] differenzierbare Funktion ist, so gibt es ein c mit
a <= c <= b
und
f '(c) = [f(b) - f(a)]/[b - a]
Schon mal gehört?
Ist/war das ganze eigentlich eine Hausaufgabe? Falls ja, hat sich euer Lehrer schon geäußert?
Gruß
Z.
(Beitrag nachträglich am 22., März. 2004 von zaph editiert) |
