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Asdff (Asdff)
Neues Mitglied
Benutzername: Asdff
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. März, 2004 - 20:15: | 
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Guten Tag,
Ich suche händeringend um Hilfe. Problem - wie so oft - ist Folgendes:
Zu folgender Aufgabe fehlt mir von Grund auf der Zugang.
Gegeben sei eine Ebene E: [1{=x1} 0{=x2} 1{=x3}] * "vektor" x = 1
1.1 Begründe, dass die Gleichung: "vektor" x = [0 1 1] + wurzel2 * cos(t) + [ 0 1 0 ] + sin (t) * [ 1 0 -1] einen in der Ebene E gelgenen Kreis beschreibt; gib insbesondere den Mittelpunkt und den Radius des Kreises an.
<---- da hab ich überhaupt keine Ahnung, wie ich begründen soll, dass die dort beschriebene Gleichung einen in der Ebene E gelegenen Kreis beschreibt.
Hm, ist der Mittelpunkt [0 1 1]? Weil das sozusagen der Vektor wäre, um den sich der Kreis drumrumdreht?
Und der Radius ist... h mmm die wurzel aus den beiden "spannvektoren" (die mit cosinus und sinus) ? Weil Pythagoras und so weiter?
Ich weiß nicht, wie ich da ansetzen soll, ich seh da nur schwarz vor :-(
Weitere Aufgaben dazu:
Bestätige, dass alle Punkte dieses Kreises vom Punkt A(1/1/2) die Entfernung 2 haben.
Was bedeutet das für den Schnitt von E mit (der Oberfläche) der Kugel, die dfen Mittepunkt A(1/1/2) und den Radius 2 hat?
b)Berechne die beiden Punkte, in denen die Kugel mit dem Mittelpunkt A(1/1/2) und dem Radius eine zu E parallele Tangentialeben hat undgib dann für diese beiden Tangentialebenen jeweils eine Gleichung in Normalenform an.
<----- KOMPLETTFRAGEZEICHEN!!! Ich find dazu einfach keinen Zugang
c) Gib eine Gleichung für die Gerade an, auf der die Mittelpunkte aller Kugeln liegen, die von der Ebene E im oben angegebenen Kreis geschnitten.
Ich sitz davor jetzt schon ziemlich lange, aber ich find nicht den Zugang |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1570
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 13:55: |
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Hallo Asdff,
Wenn du in der Formel
xt = (0, 1, 1) + Ö2 cos(t) * (0, 1, 0) + sin(t) * (1, 0, -1)
für t reelle Zahlen einsetzt, erhältst du eine Menge M von Punkten.
Z.B. für t = 0:
x0 = (0, 1, 1) + Ö2 cos(0) * (0, 1, 0) + sin(0) * (1, 0, -1)
= (0, 1, 1) + Ö2 (0, 1, 0)
= (0, 1 + Ö2, 1)
Natürlich liegen alle diese Punkte xt in der Ebene
x = (0, 1, 1) + r * (0, 1, 0) + s * (1, 0, -1)
Diese Gleichung ist eine andere Darstellung der Ebene E. Also ist M eine Teilmenge von E.
Du hast richtig vermutet, dass (0, 1, 1) der Mittelpunkt des Kreises ist. Dazu berechne den Abstand von (0, 1, 1) und xt.
Abstand von (0, 1, 1) und xt
= |xt - (0, 1, 1)|
= |(0, 1, 1) + Ö2 cos(t) * (0, 1, 0) + sin(t) * (1, 0, -1) - (0, 1, 1)|
= |(sin(t), Ö2 cos(t), -sin(t))|
= Ö(sin²(t), (Ö2 cos(t))² + sin²(t))
= Ö(2 sin²(t) + 2 cos²(t))
= Ö 2
Also haben alle Punkte xt zu (0, 1, 1) den Abstand Ö 2 und liegen somit auf dem Kreis mit Radius Ö 2 und Mittelpunkt (0, 1, 1).
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1571
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 14:10: |
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... weiter ...
Berechne analog
|xt - (1, 1, 2)| = ... = 2
Der Schnitt aus der Kugel und der Ebene E ist also der Kreis M.
b) Der Vektor v von (1, 1, 2) nach (1, 0, 1) muss so verlängert werden, dass er die Länge 2 hat.
v = (1, 0, 1) - (1, 1, 2) = (0, -1, 1)
=>
|v| = Ö2
=>
Ö2 * v und -Ö2 * v haben die Länge 2.
Somit liegen (1, 1, 2) + Ö2 * v und (1, 1, 2) - Ö2 * v auf den gesuchten Tangentialebenen.
c) die Gerade ist senkrecht zu E und enthält den Punkt (1, 0, 1).
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