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Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 78
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 15:03: | 
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O.k. ich geb's zu, ich bin zu blöd für diese Welt.... Vielleicht habt ihr ja ein bißchen Mitleid mit mir,ich muss da nämlich echt durchsteigen:
1. Betrachten sie im Vektorraum R^3 =<E1,E2,E3> mit E1= (1;0;0), E2=(0;1;0),E3=(O;0;1) die Vektoren At=(1;1;t) B=(1;3;3) C=(-1;1;0) (teR)
a) für welche Werte von t bilden At,B und C eine Basis von R^3?
Ich habe die Determinate ausgerechnet und als Ergebnis 4t-6 bekommen, woraus ich geschlossen habe: t-2/3 und somit dass alle teR die ungleich 2/3 sind eingesetzt für t eine Basis daraus machen, da 2/3 die Determinate O werden lässt. Ist das richtig so?
b) Die Vektoren At, B und C erzeugen für t=1,5 den Untervektorraum U von R^3. Zeigen sie 1. dass A1,5 und C eine Basis von U bilden. Wie lässt sich B bezüglich dieser Basis darstellen?
Ich habe dann für t 1,5 eingesetzt und erstmal mit allen drei Vektoren eine Matrix aufgestellt und dann fiel die dritte Zeile weg, also bilden die Vektoren einen Unterraum mit dim=2
Dann habe ich die Vektoren A1,5 und C in ein Gleichungssystem gefasst und mit 0 gleichgesetzt um sie auf Unabhängigkeit zu überprüfen, aber irgendwie habe ich mich da ziemlich dumm angestellt. Ich glaube, weil es keine quadratische Matrix ist..... Ich habe dann die Matrix: 1,5;0|0 drunter 0;3|0 drunter 0;-3|0 rausbekommen. Jetzt weiß ich nicht weiter :-( wie kann -3 und 3 für die gleiche Variable stehen. Was habe ich falsch gemacht? Wie genau gehe ich vor?
Und was ist mit : wie lässt sich B bezüglich dieser Basis darstellen gemeint? Ich müsste dann praktich ein p finden, was p*Basis=B ergibt, oder?
zweitens U kann auch mit Hilfe der in R^3 üblichen kanonischen Basis E1,E2,E3 beschrieben werden (X=x1E1+x1E2+x3E3): U={X=(x1;x2;x3)|=x1+p*x2+q*x2=0} Bestimmen sie die reellen Zahlen p und q.
Eigentlich dachte ich hier ich müsste einfach nur wieder ein Gleichungssystem aufstellen mit der Basis E1;E2;E3 gleichgesetzt z.B. mit B, der ja den Unterraum mitbildet und dann nach p und q auflösen.... aber das funzt irgendwie nicht und wenn doch U die dim=2 hat, kann dann E1,E2,E3 überhaupt Basis sein?
c)In R^3 ist bezüglich der kanonischen Basis (also wie üblich X=(x1;x2;x3) und Y=(y1;y2;y3)eine symmetrische Bilinearform f gegeben mit f(X,Y)=x1y1+x1y2+x2y1+2x2y2-x2y3-x3y2+x3y3.
Zeigen Sie, dass f in R^3 kein Skalarprodukt ist, wohl aber in U!
Hier setz ich ganz aus. Ich habe immer wieder die Bilinearform-Angaben, Skalarpodukt Definition und was weiß ich nicht alles nachgeschlagen und habe keinen blassen Schimmer was genau ich da machen soll. Ich bin bei Nachweisen aber auch echt verloren. Hier wäre ich für detailierte Hilfe dankbar.
d) Der winkel zwischen zwei Vektoren X und Y ist definiert mit der Formel cosoX,Y=X*Y/|X|*|Y|.
Berechnen sie 1. den Winkel den die Vektoren B und C einschließen wenn das Skalarprodukt aus Aufgabenteil c) verwendet wird.
Ohne c) kann ich hier auch nicht viel machen, also bitte,helft mir!!! Es tut mir echt leid, dass ich so viele Fragen habe, aber ich weiß nicht, wie ich es alleine hinbekommen soll und normalerweise hat es immer sehr geholfen, wenn ich hier einmal eine Erklärung zu einem Problem bekommen habe, dann habe ich es meistens behalten.
Vielen Dank im Voraus
Nasupi |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 573
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 15:35: |
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Hallo Nasupi!
Zunächst mal zur ersten Aufgabe: die hast du (beinahe) richtig gelöst. Die Determinante wird allerdings nicht bei t=2/3 gleich 0, sondern bei t=3/2 (4t-6=0 Û t=3/2). Das ist auch der Grund, warum die Betrachtung in Aufgabe b) ausgerechnet für t=1,5 durchgeführt werden soll. (Kleiner Tipp: Achte in den Aufgabenstellungen auf solche Sonderfälle. Sie haben meistens etwas mit vorherigen Lösungen zu tun.)
Die Lösung zu Aufgabe b) folgt.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 15:53: |
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Hallo Jair,
Vielen Dank für deine Antwort, aber ich habe mich vertan. Ich habe natürlich 3/2 raus. Sorry, Tippfehler und dann nochmal wiederholt, ohne genau hinzugucken. Aber scheinbar raff' ich es trotzdem nicht, was ich weitermachen muss. Bitte kannst du mir weiterhelfen? Ich bin echt am Verzweifeln....
NS :-( |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 574
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 15:57: |
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quote:b) Die Vektoren At, B und C erzeugen für t=1,5 den Untervektorraum U von R^3. Zeigen sie 1. dass A1,5 und C eine Basis von U bilden. Wie lässt sich B bezüglich dieser Basis darstellen?
Ich habe dann für t 1,5 eingesetzt und erstmal mit allen drei Vektoren eine Matrix aufgestellt und dann fiel die dritte Zeile weg, also bilden die Vektoren einen Unterraum mit dim=2
Dann habe ich die Vektoren A1,5 und C in ein Gleichungssystem gefasst und mit 0 gleichgesetzt um sie auf Unabhängigkeit zu überprüfen, aber irgendwie habe ich mich da ziemlich dumm angestellt. Ich glaube, weil es keine quadratische Matrix ist..... Ich habe dann die Matrix: 1,5;0|0 drunter 0;3|0 drunter 0;-3|0 rausbekommen. Jetzt weiß ich nicht weiter :-( wie kann -3 und 3 für die gleiche Variable stehen. Was habe ich falsch gemacht? Wie genau gehe ich vor?
Die Dimension des UVR ist tatsächlich höchstens 2. Bei der Überprüfung der linearen Unabhängigkeit der beiden Vektoren hast du es dir aber unnötig schwer gemacht, bzw. Du bist zu schematisch vorgegangen. Du willst doch zeigen:
Wenn k*(1;1;1,5)+l*(-1;1;0)=(0;0;0), dann muss k=l=0 gelten.
Aus k*(1;1;1,5)+l*(-1;1;0)=(0;0;0) folgt
k - l = 0
k + l = 0
1,5 k = 0
Aus der letzten Gleichung folgt sofort k=0 und damit aus der 1. oder 2. Gleichung l=0. Fertig!
Du hast offenbar versehentlich die Vektoren a und b benutzt. Aber auch damit funktioniert die Rechnung - du hast sie sogar in deiner Matrix direkt vor Augen: wenn 3*l = 0 ist, dann muss ja wohl l = 0 sein. Dann ist aber auch -3*l = 0. Und aus der 1.Zeile folgt: Wenn 1,5*k = 0 ist, dann ist auch k=0.
quote:Und was ist mit : wie lässt sich B bezüglich dieser Basis darstellen gemeint? Ich müsste dann praktich ein p finden, was p*Basis=B ergibt, oder?
Nein - du musst einfach die Gleichung
k*(1;1;1,5)+l*(-1;1;0)=(1;3;3) lösen.
Du erhältst
k - l = 1
k + l = 3
1,5*k = 3
Aus der letzten Gleichung folgt k=2, aus den ersten beiden dann sofort l=1.
Damit hast du b durch 2*a+1*c dargestellt.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 576
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 16:41: |
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quote:zweitens U kann auch mit Hilfe der in R^3 üblichen kanonischen Basis E1,E2,E3 beschrieben werden (X=x1E1+x1E2+x3E3): U={X=(x1;x2;x3)|=x1+p*x2+q*x2=0} Bestimmen sie die reellen Zahlen p und q.
Laut dem 1.Teil von b) gilt U={x|x=k*(1;1;1,5)+l*(-1;1;0)}
Nun suchst du p und q, so dass die Vektoren aus U sich als (x;y;z) mit x+py+qz=0 darstellen lassen.
Für die Vektoren aus U gilt x=k-l, y=k+l, z=1,5k.
Setze diese Terme einfach für x, y und z in x+py+qz=0 ein:
(k-l)+p(k+l)+q*1,5k=0 (und zwar für alle k und l).
Dann muss -l + pl = 0 und k + pk + q*1,5k = 0 gelten.
Aus der ersten Gleichung folgt p=1, aus der zweiten dann sofort k+k+q*1,5k=0
q*1,5k=-2k
q=-4/3
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 577
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 17:14: |
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quote:c)In R^3 ist bezüglich der kanonischen Basis (also wie üblich X=(x1;x2;x3) und Y=(y1;y2;y3)eine symmetrische Bilinearform f gegeben mit f(X,Y)=x1y1+x1y2+x2y1+2x2y2-x2y3-x3y2+x3y3.
Zeigen Sie, dass f in R^3 kein Skalarprodukt ist, wohl aber in U!
Ein Skalarprodukt muss 4 Eigenschaften erfüllen:
1.) Es muss kommutativ sein.
2.) Es gilt das gemischte Assoziativgesetz
3.) Es gilt das Distributivgesetz
4.) Das Skalarprodukt ist positiv definit, d.h.
x*x > 0 für alle x ¹ 0.
Die ersten 3 Eigenschaften können wohl kaum in U plötzlich erfüllt sein, wenn sie es im R³ nicht sind (das wäre zwar theoretisch möglich, aber doch sehr unwahrscheinlich). Sehen wir uns also mal die 4.Eigenschaft an. Gehen wir zunächst mal auf die Suche nach einem Gegenbeispiel für die positive Definitheit im R³. (-1;1;1) ist solch ein Gegenbeispiel:
(-1;1;1)*(-1;1;1)=1-1-1+2-1-1+1=0, obwohl der Vektor nicht der Nullvektor ist. Also ist die Bilinearfunktion nicht positiv definit im R³, mithin kein Skalarprodukt.
Die Vektoren aus U haben aber diesen Aufbau:
(k-l;k+l;1,5k).
"Multiplizieren" wir sie mit sich selbst (mit Hilfe des zu prüfenden Skalarprodukts), so ergibt sich
(k-l)²+2(k²-l²)+2(k+l)²-3k(k+l)+2,25k²=
4,25k²-kl+l²=
4k²+(0,25k²-kl+l²)=
4k²+(0,5k-l)²
Dieser Term kann niemals kleiner als 0 werden. Wenn er gleich 0 sein soll, müsste k=0 sein, damit aber auch l=0.
Damit ist die positive Definitheit gegeben. Du musst nun noch die anderen 3 Eigenschaften überprüfen (am besten einfach im R³). Das dürfte jedoch kein Problem darstellen.
Viele Grüße
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 578
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 17:37: |
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quote:d) Der winkel zwischen zwei Vektoren X und Y ist definiert mit der Formel cosoX,Y=X*Y/|X|*|Y|.
Berechnen sie 1. den Winkel den die Vektoren B und C einschließen wenn das Skalarprodukt aus Aufgabenteil c) verwendet wird.
Diese Aufgabe hättest du völlig unabhängig von c) lösen können. Du musst das Skalarprodukt halt einfach mit der Definition aus c) berechnen:
(1;3;3)*(-1;1;0)=-1+1-3+6-0-3+0=7-7=0
Damit ist der gesamte Bruch (b*c)/(|b||c|)=0. Also stehen die beiden Vektoren (für dieses Skalarprodukt) senkrecht aufeinander.
Alles klar?
Viele Grüße
Jair
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Nasupi (Nasupi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Nasupi
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 18:02: |
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Oh Jair, ich würde dir am liebsten um den Hals fallen für deine Hilfe. Wirklich, vielen Dank. Ein paar Details habe ich noch so leidlich hinbekommen, aber gerade was die Aufgabe c betrifft, wäre ich ohne dich vollkommen aufgeschmissen gewesen. Vielen, vielen Dank!!!
Nasupi |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 580
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 21:06: |
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Na, solche Dankbarkeit sieht man doch gern  Jedenfalls kannst du dich gerne erneut mit deinen Problemen an das Forum wenden.
Jair |
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