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Lennyb (Lennyb)
Neues Mitglied
Benutzername: Lennyb
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 23:59: | 
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Hoi,
ich soll beweisen, dass die Menge Eig(F,t):={XeR^3|F(X)=t*X} (Eigenraum von F bezgl.t) ein Untervektorraum von R^3 ist. Leider habe ich gar keine Ahnung mehr, wie das geht. Und dann soll ich noch zeigen, dass wenn zwei Eigenwerte t1 und t2 verschieden sind, Eig (F,t1) geschnitten mit Eig (F,t2) = {Nullvektor} gilt. Ich weiß überhaupt nicht mehr wie das funzt. Please help!!! Thanx euer LennyB |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 802
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 11:42: |
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Ich skizziere nur kurz das Schema, den Rest solltest Du dann alleine schaffen.
1) Unterraumkriterien nachweisen.
U1: Eig(F,T)¹{}
U2: X,Y Element Eig(F,t) => X+Y Element Eig(F,t)
U3: X Element Eig(F,t) l Element IR => lX Element Eig(F,t)
Zusatz: X Element Eig(F,t) <=> F(X)=tX
Der Rest ist nur noch Ausnutzen der Linearität von F
2) Nimm an es gäbe ein gemeinsames Element ungleich dem Nullvektor. Welche Gleichung(en) müsste dieses Element dann erfüllen?
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Lennyb (Lennyb)
Neues Mitglied
Benutzername: Lennyb
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 14:22: |
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Hoi nochmal, vielen Dank erstmal Ingo. So langsam dämmerts wieder bei mir. Jetzt ist es so, dass ich aber gar nicht weiß, wie ich nachweisen soll, dass die Menge nicht leer ist? Und für die anderen Nachweise könnte ich ja einfach eine Lösung X und Y annehmen eine mit F(X)=t*X und eine mit F(Y)=t*Y, oder? Oh je, sorry, dass ich so blöd frag, aber ich brauch' echt Hilfe!!!!
LennyB |
Lennyb (Lennyb)
Neues Mitglied
Benutzername: Lennyb
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 15:14: |
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Och kommt, lasst misch jetzt nischt hängen, si? |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 803
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 18:07: |
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Sorry, war RL-Nachhilfe geben ;)
ALso:
U1 ist billig, man muss einfach nur zeigen, daß ein Element in der Menge enthalten ist. Hier bietet sich der Nullvektor an, da er in jedem Vektorraum enthalten sein muss.
U2: X,Y Element Eig(F,t)
F(X+Y)=F(X)+F(Y) (Linerarität von F)
______= tX+tY = t(X+Y)
=> X+Y Element Eig(F,t)
U3: X Element Eig(F,t) l Element IR
F(lX)=lF(X) (Linerarität von F)
_____=l(tX) = t(lX)
=> lX Element Eig(F,t)
2)
Angenommen die Schnittmenge würde einen Vektor v¹0 enthalten, dann wäre
F(v)=t1v=t2v => (t1-t2)v=0 => v=0 oder t1=t2 q.e.d
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Lennyb (Lennyb)
Neues Mitglied
Benutzername: Lennyb
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 20:11: |
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Hi Ingo, super!!! Ich denke, ich hab's begriffen. Jetzt bleibt nur das Problem mit dem Nachweis der Nicht-Leerenmenge: Unter der Definition von Eig (F,t) steht auf dem Aufgabenblatt in Klammer (Die Menge aller Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert t von F ist dann Eig (F,t)Schrägstrich{Nullvektor})
Heißt das denn nicht, dass der Nullvektor nicht enthalten sein darf? Oder verdreh ich da jetzt was?
LennyB |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 804
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 23:54: |
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Nein, das hast Du schon richtig verstanden. 0 ist per Definition kein Eigenvektor.
Die Gleichung F(X)=t*X erfüllt X=0 aber natürlich, also ist es zwar in jedem Eigenraum Eig(F,t) enthalten, jedoch kein Eigenvektor.
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Lennyb (Lennyb)
Junior Mitglied
Benutzername: Lennyb
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. März, 2004 - 11:00: |
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Ah ja, o.k. das muss man erst mal wissen (und ich tu das definitiv nicht).
Ich hätte da mal noch eine Frage: ich sollte für die Vektoren (-1;1;0) und 2*(-1;1;0) den Winkel nach dem normalen Skalarprodukt und nach dem Skalaprodukt f: x1Y1+x1Y2+x2y1+2x2y2-x2y3-x3y2+x3y3 berechnen (Vorher war nachgewiesen worden, dass f in U, der von (-1;1;0) mitaufgespannt wird, ein Skalarprodukt darstellt).
Jetzt war ja klar, dass unter Verwendung des normalen Skalarprodukts der Winkel 0° ergeben muss, weil die Vektoren linear abhängig sind. Aber wenn ich das ganze für das andere Skalarprodukt ausrechne bekomme ich als Ergebnis 60°. Jetzt meine Frage: Wie ist das möglich? Wenn zwei Vektoren doch linear abhängig sind, sind sie parallel zueinander. Wie kann das jetzt die Verwendung eines anderen Skalarproduktes verändern? Ich meine, parallel muss doch parallel bleiben, oder? Zumal ja bewiesen wurde, dass (-1;1;0) (und auch noch (1;1;1,5)) eine Basis ist von U in dem sich das ganze abspielt. Das verstehe ich nicht. Könnte mir das mal noch einer erklären? Wäre super!
LennyB |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 805
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. März, 2004 - 12:36: |
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Also ich komme auf einen Winkel von 0° auch mit dem anderen Skalarprodukt. Hast Du eventuell nicht berücksichtigt, daß |a| und |b| auch von dem Skalarprodukt abhängen?
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Lennyb (Lennyb)
Junior Mitglied
Benutzername: Lennyb
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 12:01: |
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Hi Ingo, wie das |a| und |b| auch von dem Skalarprodukt abhängt? Muss man die Beträge dann auch anders rechnen? Also nicht: |a|=Wurzel aus a1^2+a2^2...? Oh ••••••• hätte ich da die Wurzel aus (x1y1)^2+(x1y1)^2....oh •••••••, ja klar hätte ich das machen müssen. Ich bin sooooooooo blöd. Wieso denk ich da nie soweit? Oh man, alles klar. Beim nächsten Mal weiß ich es dann. Das dumme ist nur, dass ich die grottenfalsche Hausaufgabe jetzt schon eingeschickt habe. Na toll! Eh Ingo, trotzdem vielen Dank für deine Hilfe. Ist schon nicht einfach, wenn man sich hier mit lauter Mathe-Dödels rumärgern muss, was?
Liebe Grüße
der LennyB |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 809
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 17:15: |
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Wenn es rumärgern wäre, wäre ich längst nicht mehr hier ;)
Und wenn dann solche Einsichten kommen, wie bei Dir(Nicht die, daß Du blöd bist, sondern wie es richtig zu rechnen wäre), dann macht das ganze meistens sogar Spaß.
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