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Black_rabbit (Black_rabbit)
Neues Mitglied
Benutzername: Black_rabbit
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 19:37: | 
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Hallo zusammen!
Ich werde in meinem Mathe GK in einer Woche einen Zetteltest zu einer Funktionsuntersuchung schreiben. Leider liegt mir das Thema überhaupt nicht und ein Vorbereiten der Aufgabe würde mir nicht viel bringen, da die Rechnungen vermutlich falsch wären. Kann mir hier jemand weiterhelfen und eine komplette Funktionsuntersuchung zu folgender Aufgabe erstellen?
f(x)= x²*ln(x)
Enthalten sein sollten:
-> Definitionsbereich
-> Nullstellenberechnung
-> Extremwertbestimmung (Hop,Tip,Wep...)
-> Überprüfung auf Symmetrie
-> Grenzwerte an den Rändern
Würde mich ganz, ganz doll über jede Hilfe freuen!!
Gruß,
Julian |
Aquariusboy (Aquariusboy)
Junior Mitglied
Benutzername: Aquariusboy
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Februar, 2004 - 11:15: |
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Hi Julian!
f(x)=x²*ln(x)
1.) Definitionsbereich:
Welche x dürfen in die Funktion eingesetzt werden?
In x² darf mnan einsetzen was man will,
kritisch ist nur ln(x). Der ist nämlich nur
für positive Zahlen definiert.
Der Definitionsbereich der Funktion sind also
alle reellen Zahlen x>0.
2. Nullstellen (NS):
Ein Produkt ist dann =0, wenn einer der Faktoren
=0 ist. Also x²=0 oder ln(x)=0
x² hat nur bei x=0 eine NS,
ln(x) hat bei x=1 eine NS.
Also NS: N1(0|0), N2(1|0).
3.) Extremwerte:
Bilde die Ableitung (hier mit Produktregel):
f´(x)=2x*ln(x) + x²*(1/x)
= 2x*ln(x)+x = x(2*ln(x)+1)
NS der Ableitung:
x = 0 und x=e^(-0,5) (Das ist die NS der Klammer)
Für x=0 ist ln(x) aber nicht definiert,
also ist der einzig mögliche Extrempunkt bei
x=e^(-0,5)
Bilde die zweite Ableitung:
f´´(x)=(2*ln(x)+1)+x(2/x)
=2*ln(x)+3
Setze die NS der ersten Ableitung in die zweite ein: f´´(e^(-0,5))=2*(-0,5)+3=2
2 ist größer als 0, also ist bei
x=e^(-0,5) ein Tiefpunkt.
Der zugehörige Funktionswert ist
f(e^(-0,5))=(e^(-0,5))^2*(-0,5)
=-1*e^(-1)=-1/e
Also: Tiefpunkt bei T(e^(-0,5)|1/e)
4. Wendepunkte
Bestimme die NS der zweiten Ableitung
2*ln(x)+3=0
also NS bei x=e^(-1,5)
Bilde die dritte Ableitung:
f´´´(x)= 2/x
f´´´(e^(-1,5)) ist ungleich 0
also liegt ein Wendepunkt vor.
Zugehöriger Funktionswert:
f(e^(-1,5))=(e^(-1,5))^2*(-1,5)
= -3*e^(-3)
Also: W(e^(-1,5)|-3*e^(-3)) Wendepunkt.
5. Symmetrie:
Keine vorhanden (kann gar nicht symmetrisch
zu irgendetwas sein, da die Funktion
für negative Zahlen gar nicht definiert ist,
mach dir mal eine Skizze vom Schaubild)
6. Grenzwerte an den Rändern:
Es existiert nur ein Rand: x=0.
Die Funktion geht gegen 0 für x gegen 0.
Prüf das einfach mit dem Taschenrechner nach.
Das ist zwar kein Beweis, aber ich glaube,
ihr habt die Regeln von de l´Hospital
noch nicht behandelt.
Viel Glück, Andreas |
Aquariusboy (Aquariusboy)
Junior Mitglied
Benutzername: Aquariusboy
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Februar, 2004 - 11:16: |
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Kleiner Nachtrag:
Für x gegen +unendlich geht auch
die Funktion gegen +unendlich
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