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Beitrag |
    
Istormi (Istormi)
Junior Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 18:41: | 
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Hallo,
bekam folgende Aufgabe:
Gegeben sind eine Funktion f mit dem Schaubild K sowie zwei Punkte P und Q auf K. Welcher Punkt R zwischen P und Q auf K hat von der Strecke PQ den größten Abstand? Bestimmen Sie diesen größten Abstand.
f (x) = 0,5x²; P(0,5|0,125); Q(2|2)
Vielen Dank für eure Hilfe |
Georg (Georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Georg
Nummer des Beitrags: 310
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 19:39: |
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Steigung PQ = (2-0,125)/(2-0,5) = 5/4
f'(x) = x = 5/4
f(5/4) = 0,5 * 25/16
R ( 5/4 25/32 )
Gerade PQ (y-2)/(x-2) = 5/4
4y - 8 = 5x - 10
5x - 4y - 2 = 0
HNF : ( 5x - 4y - 2 ) / sqrt(25+16) = 0
( 5x - 4y - 2 ) / sqrt(41) = 0
Abstand = ( 5 * 5/4 - 4 * 25/32 - 2 ) / sqrt(41)
= 9 / 8 / sqrt(41)
www.MatheHausaufgaben.De
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 968
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 23:31: |
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Dazu muss man noch erklären, dass jener Punkt auf der Kurve zwischen P, Q hat den maximalen Abstand von der Sehne PQ hat, dessen Tangente parallel zu dieser Sehne ist.
Ansonsten müsste es mittels Extremwertberechnung gemacht werden.
Gr
mYthos
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Istormi (Istormi)
Junior Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Februar, 2004 - 20:32: |
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Vielen Dank für die Antwort.
Hab die Aufgabe zuvor mit der Methode der Extremwertrechnung probiert zu bewältigen und hab auch irgend wo einen Fehler gemacht welchen ich leider immer noch nicht erkenne.
Vielleicht findet ihr ihn ja
Zuerst stellte ich die Gerade PQ auf mit y=1,25x-0,5
Als nächstes stellte ich die Gerade PQ in Vektorschreibweise auf x=(0,5\0,125)+u(1,5\1,875)
Daraus entnahm ich den Normalenvektor n=(1,5\1,875)
Einheitsnormalenvektor n0=sqrt(64/369)*(1,5\1,875)
HNF aufstellen
0=sqrt(64/369)*(1,25x-0,5-y)
Nun nahm ich für y=0,5x^2
d(x)=sqrt(64/369)*(1,25x-0,5-0,5x^2)
d´(x)=sqrt(64/369)*(-x+1,25)
Extremwert
0=-x+1,25
x=1,25
Den x-Wert setzte ich nun in f(x)=0,5x^2 ein und erhielt A(1,25\25/32)
Außerdem setzte ich den x-Wert in d(x) ein um den Abstand zu erhalten, welcher natürlich falsch war.
Bitte sagt mir meinen Denkfehler. Den Weg von Georg hab ich auch schon halbwegs verstanden.
mfg
Stefan |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 970
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Februar, 2004 - 23:57: |
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Hi Stefan,
soooo falsch hast gar nicht mal gerechnet, bis zum Richtungsvektor (1,5 | 1,875) stimmts noch!
Der Normalvektor ist aber (-1,875 ; 1,5), du musst die Koordinaten tauschen und eine negativ nehmen!
Der eine Fehler hätte aber nichts gemacht, weil der Betrag ja gleich geblieben ist, also muss noch ein weiterer passiert sein ...
Und da ist er auch schon, denn bei der Hesseschen Normalform musst du durch den Betrag DIVIDIEREN und nicht multiplizieren!
Aber auch dieser Fehler dürfte das Ergebnis für x nicht falsch machen, weil der konstante Faktor bei der Extremwertbestimmung ja weggelassen werden kann ....
Rechnen wir mal weiter, wir werden's schon finden.
Damit die Rechnung leichter wird, kannst du den Normalvektor noch vereinfachen (erst durch 1,5 und dann mal 4), also (-5|4) nehmen. Die Geradengleichung ist dann (Anfangspunkt (2|2)):
-5x + 4y + 2 = 0
(ist identisch mit 1,25x - y - 0,5 = 0, diese kann mit ja mit 4 multipliziert werden)
HNF: (-5x + 4y + 2)/sqrt(41) = 0
jetzt y = 0,5x² wie es auch du gemacht hast
d(x) = (-5x + 2x² + 2) .. [/sqrt(41) weglassen]
d'(x) = -5 + 4x
d'(x) = 0 -> 4x = 5
x = 5/4
°°°°°°°°
Also ist A(1,25 | 25/32), bravo, trotz deiner 2 Fehler hast du das auch, Glück muss man haben!
Aber JETZT endlich wirkt sich der Fehler bei der HNF aus (Strafe muss sein), denn beim Abstand steht ja nun "dividiert durch sqrt .." und es kommt nun
d = |(- 6,25 + 3,125 + 2)/sqrt(41)|
d = 1,125/sqrt(41) = 9/(8*sqrt(41))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gr
mYthos
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Istormi (Istormi)
Junior Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 14:02: |
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Vielen Dank mYthos,
Da bin ich ja fast durch den Wald und doch vorm letzten Baum zum stehen gekommen.
Trotzdem möchte ich noch ne Erklärung geben warum ich nicht 1/|n| rechnete, denn bei mir hatte ich 1/sqrt(369/64) raus und formte es zu sqrt(64/369) um, was ja geht, somit lies es sich leichter aufschreiben.
Nun hab ich es aber auch komplett verstanden
mfg
Stefan |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 972
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 22:44: |
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..stimmt!
Du bist ja schlauer, als ich dachte, dann hast du eigentlich keinen offensichtlichen Fehler gemacht, sorry. Dann hätte der Abstand eigentlich stimmen müssen .. naja, Hauptsache, dir ist's jetzt klar!
Gr
mYthos
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Istormi (Istormi)
Junior Mitglied
Benutzername: Istormi
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 13:37: |
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Es blieb trotzdem ein Fehler, dieses "schöne" Minus beim Normalenvektor und die "Drehung" der Zahlen, denn dies lies mich dann beim der HNF ziemlich vor die Wand laufen. Hab es dann mit den - und den Zahlendreher berechnet und es stimmte
mfg
Stefan |
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