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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 155
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 14:53: | 
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F(x) = t*cos x -t² für -pi<= x <= pi
Die Kurve Kt und die Normalen in den Wendepunkten begrenzen eine Fläche. Für welches t > 0 nimmt der Inhalt dieser Fläche einen Extremwert an? Um welche Art von Extremum handelt es sich?
Wendepunkte in pi/2 und -pi/2.
Normalen in den Wendepunkten haben die Gleichungen:
y1= (1/t)x - t² - pi/(2t)
y2= (-1/t)x - t²-pi/(2t)
Kann mir jemand sagen, wie man die Fläche berechnen soll??
Danke im voraus! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 961
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Februar, 2004 - 14:30: |
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Hallo!
Alle Kurven der Schar sind symmetrisch zur y-Achse, die Maxima liegen alle bei x = 0, die Wendepunkte, wie in der Angabe schon verraten (diese müssten eigentlich zuerst berechnet werden), gleichermaßen links und rechts von der y - Achse bei -pi/2 und +pi/2. Die y-Werte der Wendepunkte betragen -t² (weil sin(pi/2) = 0).
Wir brauchen noch den y-Wert y_N des Schnittpunktes N der Wendetangenten mit der y-Achse (x = 0), den können wir aus der Tangentengleichung mit -(t² + pi/2) ablesen:
y_N = -(t² + pi/2)
Die zu berechnende Fläche setzt sich nun zusammen aus:
1.
A1:
Rechteck, Länge pi, Höhe t², diese vermindert um die Fläche zwischen der Kurve und der x - Achse in den Grenzen von -pi/2 bis +pi/2 (d.i. wegen der Symmetrie 2* Fläche von 0 bis pi/2)
2.
A2:
Dreieck, Basis pi, Höhe h = |y_N| - t²
h = t² + pi/2t - t² = pi/2t
Die Fläche dieses Dreieckes ist A2 = pi²/(4t)
Zu A1:
Wir berechnen die 2*Fläche zwischen der Kurve und der x - Achse in den Grenzen von 0 bis pi/2, d.i.
2t*int[0; pi/2](cos(x) - t)dx =
= 2t(sin(x) - tx)[0; pi/2] =
= 2t(1 - (t*pi/2)) =
= 2t - pi*t²
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Die Gesamtfläche A ist nun
A(t) = pi*t² - 2t + pi*t² + pi²/(4t)
A(t) = 2pi*t² - 2t + pi²/(4t)
diese soll für ein bestimmtes t ein Extremum werden ->
A'(t) = 4pi*t - 2 - pi²/(4t)
A''(t) = 4pi + pi²/(2t³), da t > 0, ist auch A''(t) > 0, daher liegt ein Minimum vor!
Zur Ermittlung des Extremums setzen wir die 1. Ableitung Null:
A'(t) = 0
16pi*t³ - 8t² - pi² = 0
Diese Gleichung können wir nur näherungsweise lösen, wir verwenden das Newton-Verfahren. Da bei t = 0 der Wert der linken Seite der Gleichung noch negativ, bei t = 1 aber schon positiv ist, wählen wir als Startwert 1 und erhalten schon nach dem 4. Schritt x4 = 0,6394.
Es liegt also bei t = 0,64 (rd.) eine minimale Fläche vor. Den Wert dieser Fläche erhält man, wenn man t in A(t) einsetzt.
Gr
mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 157
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Februar, 2004 - 14:49: |
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Danke! |
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