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Never (Never)
Neues Mitglied Benutzername: Never
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 12-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 21:29: |
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Hallo, sitze total auf dem Schlauch. Wie berechnet man die Nullstellen, Extremwerte und Monotonie folgender Gleichung: fk (x) = [k (hoch2) mal x (hoch 2)] / [k mal x + 1] Ich hoffe, ihr könnt mir weiter helfen. Marion |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 116 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 12:28: |
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Hallo Never ! f´(x)=kx/(x+1) mit der Quotientenregel f´´(x)=k/(x+1)^2 mit der Quotientenregel Nullstellen: k²x²/(kx+1) = 0 =>k²x²=0 <=>x²=0 <=>x=0 ******** Extremstellen: **************** Notwendige Bedingung: kx/(x+1)=0 =>kx = 0 <=>x=0 ******** Hinreichende Bedingung: f´´(0) ungleich 0 f´´(0)= k/(0+1)^2= k ********************* Fallunterscheidung: k = 0 => f´´(0)=0 => kein Extremum! k ungleich 0 => f´´(0)ungleich 0 => Maximum für k<0 => Minimum für k>0 Gruß Kratas
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2000 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 12:44: |
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etwas ausführlicher
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 117 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 20:57: |
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Ooppps...hatte die Funktion k²x²/(k*(x+1))verwendet...auch egal Noch zur Monotonie...man kann den Graphen von f in Abschnitte einteilen,in denen Gf streng monoton fällt bzw.steigt.f´gibt die Steigung von f an der Stelle x an,somit kann sich das Monotonieverhalten nur "an den Extremstellen" bzw. "an den Nullstellen von f´" ändern. f´(x) ist größer null für -oo<x<-k/2 und 0<x<oo und kleiner null dementsprechend für -k/2<x<0. Die Funktionswerte steigen also streng monoton für x<-k/2 und für x>0,allerdings wird die Steigung nicht unendlich groß,sondern strebt gegen k:lim(|x|->oo)(k³x²+2k²x)/(k²x²+2kx+1).Zur Berechnung dieses Quotientengrenzwertes kann man die Regel von de l´Hospital heranziehen. Wenn gilt:lim(x->oo)g(x)/h(x) = "oo/oo" mit f(x)=g(x)/h(x), dann gilt: lim (x->oo)f(x)=lim f´(x)/g´(x).Diese Regel wendet man jetzt so lange an,bis man einen "Wert" gefunden hat,der von oo/oo abweicht,z.B. oo/1=oo , 3/oo = 0 , 1/2 = 0,5 usw. In diesem Fall gilt: lim(x->oo)f(x)=lim 2k³/2k²=k Die Steigung wächst für x->-k/2 bzw.0 ins Unendliche. Gruß Kratas (Beitrag nachträglich am 12., Februar. 2004 von Kratas editiert) |
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