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Funktionenschar

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Never (Never)
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Neues Mitglied
Benutzername: Never

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 21:29:   Beitrag drucken

Hallo,
sitze total auf dem Schlauch. Wie berechnet man die Nullstellen, Extremwerte und Monotonie folgender Gleichung:

fk (x) =
[k (hoch2) mal x (hoch 2)] / [k mal x + 1]

Ich hoffe, ihr könnt mir weiter helfen.
Marion
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Kratas (Kratas)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas

Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 12:28:   Beitrag drucken

Hallo Never :-)!

f´(x)=kx/(x+1) mit der Quotientenregel
f´´(x)=k/(x+1)^2 mit der Quotientenregel

Nullstellen:
k²x²/(kx+1) = 0
=>k²x²=0
<=>x²=0
<=>x=0
********

Extremstellen:
****************
Notwendige Bedingung:
kx/(x+1)=0
=>kx = 0
<=>x=0
********
Hinreichende Bedingung:
f´´(0) ungleich 0
f´´(0)= k/(0+1)^2= k
*********************
Fallunterscheidung:
k = 0 => f´´(0)=0 => kein Extremum!
k ungleich 0 => f´´(0)ungleich 0
=> Maximum für k<0
=> Minimum für k>0


Gruß
Kratas
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2000
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 12:44:   Beitrag drucken

etwas ausführlicher
diskussion
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Kratas (Kratas)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas

Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 20:57:   Beitrag drucken

Ooppps...hatte die Funktion k²x²/(k*(x+1))verwendet...auch egal

Noch zur Monotonie...man kann den Graphen von f in Abschnitte einteilen,in denen Gf streng monoton fällt bzw.steigt.f´gibt die Steigung von f an der Stelle x an,somit kann sich das Monotonieverhalten nur "an den Extremstellen" bzw. "an den Nullstellen von f´" ändern. f´(x) ist größer null für -oo<x<-k/2 und 0<x<oo
und kleiner null dementsprechend für -k/2<x<0.
Die Funktionswerte steigen also streng monoton für x<-k/2 und für x>0,allerdings wird die Steigung nicht unendlich groß,sondern strebt gegen k:lim(|x|->oo)(k³x²+2k²x)/(k²x²+2kx+1).Zur Berechnung dieses Quotientengrenzwertes kann man die Regel von de l´Hospital heranziehen.
Wenn gilt:lim(x->oo)g(x)/h(x) = "oo/oo" mit f(x)=g(x)/h(x), dann gilt: lim (x->oo)f(x)=lim f´(x)/g´(x).Diese Regel wendet man jetzt so lange an,bis man einen "Wert" gefunden hat,der von oo/oo abweicht,z.B. oo/1=oo , 3/oo = 0 , 1/2 = 0,5 usw.
In diesem Fall gilt: lim(x->oo)f(x)=lim 2k³/2k²=k
Die Steigung wächst für x->-k/2 bzw.0 ins Unendliche.

Gruß
Kratas

(Beitrag nachträglich am 12., Februar. 2004 von Kratas editiert)

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