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Carmen2 (Carmen2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carmen2
Nummer des Beitrags: 131
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 11:26: | 
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f(x)= 3t/(t+e^x) für t>0
brauche dringend Hilfe bei einigen Teilaufgaben...
a)Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch-Tiefpunkte, Wendepunkte und Asymptoten kann ich selbst bestimmen..hoffe ich!
(Kann mir evtl.jemand nur die Lösungen zum vergleich geben?)
Allerdings weiß ich nicht, wie man die Ortslinie der Wendepunkte aller Kurven Kt bestimmt!?
b)Wie zeigt man, dass K4 ganz oberhalb von K1 verläuft??
und K1 und K4 schneiden aus jeder Geraden x=u eine Strecke der Länge d aus.
Jetzt soll ich u so bestimmen, dass d möglichst groß wird...???
c)Flächeninhalt kann ich berechnen..
hier soll er zwischen der Kurve Kt mit den Geraden x=a, x=-a, wobei a>0 und y=3 berechnet werden.
Kann mir jmd ein Ergebnis geben?
Nun muss ich nämlich noch untersuchen, ob die Fläche zwischen K1 und K4 einen endlichen Inhalt besitzt????
d)Jede Funktion ft soll umkehrbar sein! wie zeige ich das?
von der Umkehrfkt. soll ich D, W und die Fktgleichung bestimmen...
Nun soll ich noch begründen, dass für jedes t>0 die Schaubilder von ft und ihrer Umkehrfkt. genau einen gemeinsamen Punkt Pt besitzen.
Für welchen Wert von t ist Pt der Wendepunkt von Kt???
Danke wenn ihr mir weiterhilft!! |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 18:18: |
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Kannst du mir deine Stammfunktion zu f verraten ? |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 114
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 18:51: |
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Hallo Carmen!
b) Wenn der Graph von K4 über dem von K1 verläuft,dann muss f(x) an jeder Stelle x von f4(x) größer sein als f1(x).Dementsprechend muss bewiesen,dass für alle x € Df gilt:
12/(4+e^x)> 3/(1+e^x)
Diese Gleichung löst du nun nach x auf...
<=>12(1+e^x)> 3(4+e^x)| Ausmultiplizieren und SUM
<=>9*e^x > 0
<=>e^x > 0
Die obere Gleichung ist also erfüllt,wenn gilt:e^x > 0.Da das bekanntlich für jedes x gilt,ist die Gleichung bewiesen.
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Um den Abstand von zwei Punkten zu bestimmen,die sich auf einer zur x-Achse orthogonalen Gerade befinden,muss man einfach nur die f(x)-Werte der Punkte subtrahieren.
Für können nun den Abstand für jeden beliebigen x-Wert berechnen,indem wir die Differenzfunktion von f4 und f1 bilden:
d(x)=12/(4+e^x) - 3/(1+e^x)
Diese "Abstandsfunktion" untersuchen wir nun auf relative Maxima in Df.
d´(x)=e^x * [-12/(4+e^x)² + 3/(1+e^x)²]=0
Ein Produkt ist null,wenn einer der Faktoren null ist also e^x=0 oder -12/.....=0
die erste Gleichung besitzt keine Lösung in R
und die zweite ist erfüllt für x=ln 2:
<=>-12(1+e^x)²+3(4+e^x)²=0
<=>36-9*e^(2x)=0
<=>e^(2x)=4
<=>ln e^(2x)=ln 4
<=>2x = ln 4
<=>x = ln 2
Jetzt noch eine Wertetabelle für den Vorzeichenwechsel aufstellen..->Maximum!!!
*********************************************
d)Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.
Der Graph von f lässt vermuten,dass der Graph auf dem ganzen Df streng monoton fallend ist.
Beweis z.B. über f(x+1)< f(x) bzw. f(x+1)/f(x)<0
Oder du zeigst,dass für gleiche Funktionswerte f(x1) und f(x2) die x-Werte gleich sind d.h.(anschaulich)man untersucht,ob man von einem Funktionswert IMMER auf den zugehörigen x-Wert schließen kann.
Hier: f(x1)=f(x2)
(3t)/(t+e^x1) = (3t)/(t+e^x2)
Wenn man die Gleichung entsprechend auflöst,findet man x1=x2,also ist die Funktion umkehrbar.
Anderes Beispiel:
Die Funktion g(x)=e^(x^2) ist symmetrisch zur y-Achse,also nicht auf ganz Df umkehrbar.
Beweis:
e^(x1^2)=e^(x2^2) |Logarithmieren
x1^2 = x2^2 | Wurzelziehen
+bzw-x1 = +bzw-x2 [ungleich x1 = x2]
*****************
D.h.die x-Werte können bei gleichem f(x)-Wert unterschiedlich sein,z.B. x1=-x2,also beispielsweise:f(2)=f(-2)=> 2=-(-2)
************************************
Gruß
Kratas
(Beitrag nachträglich am 11., Februar. 2004 von Kratas editiert) |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 19:00: |
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Die Umkehrfunktion bilden:
Funktionsgleichung y=f(x) nach x auflösen und Variablen tauschen:
y = 3t/(t+e^x)
y*(t+e^x) = 3t
e^x = 3t/y -t
ln e^x = ln(3t/y - t)
x = ln(3t/y - t)
=>
y = ln(3t/x - t)
*****************
Es muss gelten 3t/x - t > 0
Die Lösungen für < 0 sind nicht in Df enthalten.
Wf = Rf*(Umk.f)
Dazu später mehr...
MfG
Kratas |
Carmen2 (Carmen2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carmen2
Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 13:49: |
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Hey Kratas,
vielen lieben Dank schon mal!!
Muss mich da noch durcharbeiten...
gruß carmen |
Carmen2 (Carmen2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carmen2
Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 19:00: |
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Hi Kratas!
also a) hat sich erledigt, das habe ich selbst herausbekommen!
b) habe ich verstanden!!!*danke*
bei c) habe ich die Stammfunktion leider auch nicht bestimmen können --> macht man das mit der Substitution???
kann mir also noch jemand bei c) helfen????
d) muss ich mir noch mal angucken...
mfg
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Carmen2 (Carmen2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carmen2
Nummer des Beitrags: 134
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 20:49: |
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ich bin´s noch mal!!
zu d)
Kratas, kannst du mir da jetzt noch mal genau weiterhelfen mit W und D der Umkehrfunktion???...ich weiß, dass W der Umkerfkt. D der Fkt. ist und D der Umkehrfkt W der Fkt ist!
und vllt. auch bei diesem Teil:
"Nun soll ich noch begründen, dass für jedes t>0 die Schaubilder von ft und ihrer Umkehrfkt. genau einen gemeinsamen Punkt Pt besitzen.
Für welchen Wert von t ist Pt der Wendepunkt von Kt??? "
Sonst habe ich d) verstanden!!!Danke! |
Carmen2 (Carmen2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carmen2
Nummer des Beitrags: 135
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Februar, 2004 - 19:19: |
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Hallo?
also bei c) habe ich die Stammfkt. jetzt doch!
(erst 3 - ft rechnen)
trotzdem weiß ich nicht weiter bei
"Fläche zwischen K1 und K4 einen endlichen Inhalt besitzt"
Hilft sonst bitte jmd. anders weiter??
danke
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 290
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Februar, 2004 - 22:18: |
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Wenn du eine Stammfunktion von f hast, dann hast du doch auch eine von d. Folglich sollte es möglich sein, z.B.
das Integral über d von -a bis a für beliebiges a>0 auszurechnen. Wenn der Grenzwert für a --> oo existiert, sollte die Fläche endlich sein. |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 120
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 06:58: |
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Hallo Carmen!
Bin in den letzten Tagen nur kurz am PC gewesen...
Hier ein Teil meiner Restlösungen:
zu c)
Zum Berechnen des Flächeninhaltes zwischen K4 u K1 musst du die Differenzfunktion integrieren:
f(x)=12/(4+e^x) - 3/(1+e^x) und zwar in den Grenzen -oo und oo,da du ja auf dem gesamten Definitionsbereich integrieren willst.
INT f(x) dx = [(3x-3*ln(e^x+4))-(3x-3*ln(e^x+1))]-oo bis oo = [-3*ln[(x+4)/(x+1)] ]-oo bis oo
Dieses unbestimmte Integral kann man berechnen,indem man z.B. von -oo bis 0 und von 0 bis oo integriert.Einfach die Grenzwerte für lim(t->-oo INT f(x)dx (von t bis 0) bzw. für lim(t->oo)... berechnen.
Dazu folgendes: *lim(x->oo)(e^x+4)/(e^x+1) = [oo/oo]=> Regel von l´Hospital anwenden:
lim(x->oo)(e^x+4)/(e^x+1) = lim(x->oo)e^x/e^x=lim(x->oo)1=1
*lim(x->-oo)(e^x+4)/(e^x+1)= 4
Dadurch ergibt sich für das Integral von -oo bis 0: 0 + 3*ln[(e+4)/(e+1)]
************************
und für das Integral von 0 bis oo:
-3*ln[(e+4)/(e+1)]+3*ln 4
**************************
Die Summe der Integrale entspricht dem Flächeninhalt auf dem Intervall -oo<x<oo:
A=3*ln 4 ~ 4,1588
******************
Für den Flächeninhalt zwischen x=a etc. musst du das Integral INT(3-3t/(e^x+t)dx (von-a bis a) bestimmen,mein Ergebnis: 3*ln[(e^a+t)/(e^-a+t)]
***************************
zu d)
Am Graphen von f kann man erkennen:
0<f(x)<3 und x € |R.
Die erste Ungleichung kannst du mit den Grenzwertbetrachtungen für |x|->oo beweisen:
lim(x->oo)(3t/(t+e^x))= 0 eine Zahl durch eine "unendliche große" Zahl -> 0
lim(x->-oo)(3t/(t+e^x))=3t/(t+0)=3
Dementsprechend gilt für die Umkehrfunktion f*:
Df*: 0<x<3
Wf*=|R
Den gemeinsamen Punkt von f und f* kann man nicht genau bestimmen...muss ich mir nochmal anschauen.
Gruß ;-)
Kratas |
Carmen2 (Carmen2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carmen2
Nummer des Beitrags: 136
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 11:18: |
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danke schon mal!!!
wollte nur kurz anmerken, dass man den Punkt gar nicht bestimmen muss, nur begründen, dass es überhaupt einen gemeinsamen Punkt gibt.
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Carmen2 (Carmen2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carmen2
Nummer des Beitrags: 137
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 10:52: |
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wie siehts aus? kann das jmd. begründen??
den rest habe ich verstanden @Kratas! |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 299
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 21:22: |
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ft ist monoton fallend. Wenn du gemeinsame Punkte von ft und der Umkehrfunktion suchst, musst du nachsehen wo ft die Gerade y=g(x)=x schneidet. Die ist aber monoton steigend. Also gibts genau einen Schnittpunkt. |
Carmen2 (Carmen2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carmen2
Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 22:03: |
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okay danke! |
