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ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Sonstiges » Aufgabe « Zurück Vor »

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Katrin000 (Katrin000)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 153
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 14:10:   Beitrag drucken

1) g:x = (3;-1;7) + s(1;0;0) h:x = (2;8;-5) + t(2;1;2)
Die Koordinaten der Fußpunkte des gemeinsamen Lots von g und h sind
A(8;-1;7)
B( 8;11;1)
a) K ist die kleinste Kugel, die g und h als Tangenten hat. Bestimmen Sie den Radius r und den Mittelpunkt M von K.
b) Zeigen Sie, dass die Ebene E: 2x1-x2-2x3 + 15 = 0 die Kugel K schneidet und berechnen Sie den Radius r des Schnittkreises. (Kann mir hier auch noch jemand erklären, wie man das Verhältnis der Volumina der Teilstücke berechnet?)
c) Dieser Schnittkreis ist die Grundfläche eines geraden Kreiskegels, dessen Mantellinien Tangenten an die Kugel K sind. Bestimmen Sie die Höhe des Kegels.
Im voraus vielen Dank!
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3508
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 18:33:   Beitrag drucken

Hi Katrin

Lösung der Teilaufgabe a)
Wir kontrollieren, ob die Verbindungsgerade m der Punkte AB
tatsächlich sowohl auf g als auch auf h senkrecht steht.
Ist dies der Fall, so ist m die so genannte
Minimaltransversale von g und h , und der kürzeste
Abstand von g und h befindet sich, wie man sagt
„nach Lage und Grösse“ auf m.

Richtungsvektor v von m:
v = AB = {0;12;-6}= 6{0;2;-1}
Richtungsvektor c von g; c ={1;0;0}
Richtungsvektor d von h; c ={2;1;2}

Das Skalarprodukt der Vektoren v und c ist null, also steht m
auf g senkrecht.
Das Skalarprodukt der Vektoren v und d ist null, also steht m
auf h senkrecht.

Mit der Geraden m haben wir tatsächlich DIE
Minimaltransversale vor uns.

Die Länge der Strecke AB stimmt mit dem Durchmesser der Kugel
überein.
Der Mittelpunkt der Strecke AB ist Mittelpunkt M der Kugel.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3509
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 19:35:   Beitrag drucken

Hi Katrin

ad a)
Mittelpunkt M(8/5/4)
2 r = wurzel (144+36) = wurzel (180)
r = wurzel (45) = 3*wurzel (5)

ad b)
Normalform von Hesse der Ebene E:
(2 x – y – 2 z + 15) / wurzel (9) = 0, also
(2 x – y – 2 z + 15) / 3 = 0
Abstand d des Kugelmittelpunktes M von E:
d = (16 – 5 – 8 + 15 ) / 3 = 6 < r
Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis c.
Radius rho von c nach Pythagoras:
rho = wurzel (r^2 - d^2) = wurzel (45 - 36) = 3.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 946
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 13:43:   Beitrag drucken

Zum Verhältnis der Volumina der beiden Kugelteile: Beides sind Kugelsegmente, deren Volumen mittels

V = pi*(h²/3)*(3r - h)

berechnet wird.


Kugelsegment 1:

r = sqrt(45) = 3*sqrt(5), h1 = 3*sqrt(5) - 6
[6 ist ja der Abstand des Kugelmittelpunktes M von E]

V1 = pi*(3*sqrt(5) - 6)²*(9*sqrt(5) - 3*sqrt(5) + 6)/3

V1 = pi*(3*sqrt(5) - 6)²*(2*sqrt(5) + 2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Kugelsegment 2:

r = 3*sqrt(5), h2 = 2r - h1 = 3*sqrt(5) + 6

V2 = pi*(3*sqrt(5) + 6)²*(9*sqrt(5) - 3*sqrt(5) - 6)/3

V2 = pi*(3*sqrt(5) + 6)²*(2*sqrt(5) - 2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Das Verhältnis kann durch 18*pi gekürzt werden!

V1 : V2 = (sqrt(5) - 2)²*(sqrt(5) + 1) : (sqrt(5) + 2)²*(sqrt(5) - 1)

V1 : V2 = (5*sqrt(5) - 11) : (5*sqrt(5) + 11)
V1 : V2 = (246 + 110*sqrt(5)) : 4
V1 : V2 = (123 + 55*sqrt(5)) : 2

V1 : V2 = 1 : 123
°°°°°°°°°°°°°°°°°

Hier noch ein Bild zu dem Kugelschnitt und dem Schnittkreis!

Gr
mYthos

Kugel und Ebene
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 950
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 21:35:   Beitrag drucken

Zu c)

Die Höhe h des Kegels berechnen wir mittels der Ähnlichkeit der Dreiecke MM1T und M1TS in einem Achsenschnitt.

M .. Mittelpunkt der Kugel
M1 .. Mittelpunkt des Schnittkreises
T .. Tangentenberührungspunkt
S .. Spitze des Kegels

Der Winkel (phi) bei M im einen und der Winkel bei T im anderen Dreieck sind gleich (Normalwinkel).
MM1 = 6, M1T = 3, M1S = h

tan(phi) = 3/6 = h/3 ->
h = 3/2 E
°°°°°°°°°

Gr
mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 159
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 12:14:   Beitrag drucken

Vielen Dank!

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