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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 153 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 14:10: |
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1) g:x = (3;-1;7) + s(1;0;0) h:x = (2;8;-5) + t(2;1;2) Die Koordinaten der Fußpunkte des gemeinsamen Lots von g und h sind A(8;-1;7) B( 8;11;1) a) K ist die kleinste Kugel, die g und h als Tangenten hat. Bestimmen Sie den Radius r und den Mittelpunkt M von K. b) Zeigen Sie, dass die Ebene E: 2x1-x2-2x3 + 15 = 0 die Kugel K schneidet und berechnen Sie den Radius r des Schnittkreises. (Kann mir hier auch noch jemand erklären, wie man das Verhältnis der Volumina der Teilstücke berechnet?) c) Dieser Schnittkreis ist die Grundfläche eines geraden Kreiskegels, dessen Mantellinien Tangenten an die Kugel K sind. Bestimmen Sie die Höhe des Kegels. Im voraus vielen Dank! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3508 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 18:33: |
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Hi Katrin Lösung der Teilaufgabe a) Wir kontrollieren, ob die Verbindungsgerade m der Punkte AB tatsächlich sowohl auf g als auch auf h senkrecht steht. Ist dies der Fall, so ist m die so genannte Minimaltransversale von g und h , und der kürzeste Abstand von g und h befindet sich, wie man sagt „nach Lage und Grösse“ auf m. Richtungsvektor v von m: v = AB = {0;12;-6}= 6{0;2;-1} Richtungsvektor c von g; c ={1;0;0} Richtungsvektor d von h; c ={2;1;2} Das Skalarprodukt der Vektoren v und c ist null, also steht m auf g senkrecht. Das Skalarprodukt der Vektoren v und d ist null, also steht m auf h senkrecht. Mit der Geraden m haben wir tatsächlich DIE Minimaltransversale vor uns. Die Länge der Strecke AB stimmt mit dem Durchmesser der Kugel überein. Der Mittelpunkt der Strecke AB ist Mittelpunkt M der Kugel. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3509 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 19:35: |
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Hi Katrin ad a) Mittelpunkt M(8/5/4) 2 r = wurzel (144+36) = wurzel (180) r = wurzel (45) = 3*wurzel (5) ad b) Normalform von Hesse der Ebene E: (2 x – y – 2 z + 15) / wurzel (9) = 0, also (2 x – y – 2 z + 15) / 3 = 0 Abstand d des Kugelmittelpunktes M von E: d = (16 – 5 – 8 + 15 ) / 3 = 6 < r Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis c. Radius rho von c nach Pythagoras: rho = wurzel (r^2 - d^2) = wurzel (45 - 36) = 3. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 946 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 13:43: |
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Zum Verhältnis der Volumina der beiden Kugelteile: Beides sind Kugelsegmente, deren Volumen mittels V = pi*(h²/3)*(3r - h) berechnet wird. Kugelsegment 1: r = sqrt(45) = 3*sqrt(5), h1 = 3*sqrt(5) - 6 [6 ist ja der Abstand des Kugelmittelpunktes M von E] V1 = pi*(3*sqrt(5) - 6)²*(9*sqrt(5) - 3*sqrt(5) + 6)/3 V1 = pi*(3*sqrt(5) - 6)²*(2*sqrt(5) + 2) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Kugelsegment 2: r = 3*sqrt(5), h2 = 2r - h1 = 3*sqrt(5) + 6 V2 = pi*(3*sqrt(5) + 6)²*(9*sqrt(5) - 3*sqrt(5) - 6)/3 V2 = pi*(3*sqrt(5) + 6)²*(2*sqrt(5) - 2) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Das Verhältnis kann durch 18*pi gekürzt werden! V1 : V2 = (sqrt(5) - 2)²*(sqrt(5) + 1) : (sqrt(5) + 2)²*(sqrt(5) - 1) V1 : V2 = (5*sqrt(5) - 11) : (5*sqrt(5) + 11) V1 : V2 = (246 + 110*sqrt(5)) : 4 V1 : V2 = (123 + 55*sqrt(5)) : 2 V1 : V2 = 1 : 123 °°°°°°°°°°°°°°°°° Hier noch ein Bild zu dem Kugelschnitt und dem Schnittkreis! Gr mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 950 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 21:35: |
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Zu c) Die Höhe h des Kegels berechnen wir mittels der Ähnlichkeit der Dreiecke MM1T und M1TS in einem Achsenschnitt. M .. Mittelpunkt der Kugel M1 .. Mittelpunkt des Schnittkreises T .. Tangentenberührungspunkt S .. Spitze des Kegels Der Winkel (phi) bei M im einen und der Winkel bei T im anderen Dreieck sind gleich (Normalwinkel). MM1 = 6, M1T = 3, M1S = h tan(phi) = 3/6 = h/3 -> h = 3/2 E °°°°°°°°° Gr mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 159 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 12:14: |
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Vielen Dank! |