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Julie27 (Julie27)
Mitglied
Benutzername: Julie27
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 15:22: | 
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Berechnen Sie den reellen vektorraum P3 der Polynome von höchstens 3 Grad
AV1 sei Untervektorraum von P3 und V1 = <f1,f2,f3,f4> mit
F1 (x) = -x^3 + 2x f2(x) = x^3 –6x ^2 +3x –1
F3(x) = -x ^3 – 18 x^2 + 17 x –3 , f4(x) – 4x^3 + 6x ^2 +3x +1
Untersuchen sie , ob f1,f2, f3,f4 linear abhängig oder unabhängig sin geben Sie die Dimension von V1 an
b) Sei F : { P3 -> P3 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
UND { } (a,b,c,d, element R)
F -> g g(x) = 3 ax ^2 + 2bx + c
Zeigen Sie, dass für alle fi, fj, f element P3 und k element R gilt
F(fi + fj ) = F(fi) + F(fj)
F(z*f) = z * F(f)
c) Sei f element P3 durch F(f) = g* (sternchen nicht mal )mit g*(x) = 6 x ^2 – 4x + 3 ( mit F aus Aufgabenteil b)!) bestimmt
Untersuchen Sie ob die so definierte Menge V2 von Polynomen enen Untervektorraum von P3 bildet, also V2 = { f element P3 | F(f) = g*
bitte bitte helft mir...:-)
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 273
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 14:57: |
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Hi,
für die a schreib dir die Koeffizientenmatrix hin und mach Gauss-Elimination oder so was, dann siehst du ob Zeilen verschwinden oder nicht.
Bei der b musst du einfach die Definition anwenden und rechnen, das ist reine Schreibarbeit.
Die Menge in der c ist kein UVR, weil die 0 nicht drin liegt; V2 hat die Form v+UVR.
Im Übrigen kommt mir die Aufgabe arg bekannt vor, die ist so oder so ähnlich garantiert im Archiv. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 529
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 14:59: |
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Hi Julie!
\quoteBerechnen Sie den reellen vektorraum P3 der Polynome von höchstens 3 Grad }
Du meinst sicher "Betrachten Sie..." Zu berechnen gibt's da nämlich nicht viel 
quote:AV1 sei Untervektorraum von P3 und V1 = <f1,f2,f3,f4> mit
F1 (x) = -x^3 + 2x f2(x) = x^3 –6x ^2 +3x –1
F3(x) = -x ^3 – 18 x^2 + 17 x –3 , f4(x) – 4x^3 + 6x ^2 +3x +1
Untersuchen sie , ob f1,f2, f3,f4 linear abhängig oder unabhängig sin geben Sie die Dimension von V1 an
Die Funktionen kannst du genauso als Spaltenvektoren schreiben, wie du das vom R³ gewohnt bist. Allerdings haben sie 4 Koordinaten:
f1=(-1,0,2,0)
f2=(1,-6,3,-1)
f3=(-1,-18,17,-3)
f4=(-4,6,3,1)
Jetzt stellst du ein lin. Gleichungssystem auf, genau wie du es gewohnt bist, allerdings mit 4 Gleichungen:
A) -a + b - c - 4d=0
B) -6b - 18c + 6d =0
C) 2a + 3b +17c+3d=0
D) -b - 3c + d = 0
Durch Addition von 2A und C erhältst du sofort diese Variante:
A) -a + b - c - 4d = 0
B) -6b - 18c + 6d = 0
C) 5b + 15c - 5d = 0
D) -b - 3c + d = 0
Und mit Hilfe von B+(-6D) bzw. C+5D ergibt sich:
A) -a + b - c - 4d = 0
D) -b - 3c + d = 0
B) 0b + 0c + 0d = 0
C) 0b + 0c + 0d = 0
Du siehst, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist (es gibt andere Lösungen als die triviale Lösung a=b=c=d=0). Damit sind die 4 Funktionen (Vektoren) lin. abhängig. Man braucht nur 2 von ihnen, um alle Vektoren des Untervektorraums darzustellen. Deshalb ist die Dimension dim V1 = 2.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 530
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 15:15: |
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\quote {b) Sei F : { P3 -> P3 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
UND { } (a,b,c,d, element R)
F -> g g(x) = 3 ax ^2 + 2bx + c
Zeigen Sie, dass für alle fi, fj, f element P3 und k element R gilt
F(fi + fj ) = F(fi) + F(fj)
F(z*f) = z * F(f) }
Ich deute das mal so:
F: P³ ®P² (oder auch P³) mit
F(f) = g, wobei
f(x) = ax³ + bx² + cx + d und
g(x) = 3ax² +2bx + c sein soll.
Betrachten wir zwei Elemente f1 und f2 aus P³:
f1(x)=a1x³ + b1x² + c1x + d
f2(x)=a2x³ + b2x² + c2x + d
(f1+f2)(x)=(a1+a2)x³ + (b1+b2)x² + (c1+c2)x + (d1+d2)
F(f1+f2)(x) = 3*(a1+a2)x² + 2*(b1+b2)(x) + (c1+c2)
F(f1)(x)=3a1x² +2b1x + c1
F(f2)(x)=3a2x² +2b2x + c2
Und F(f1)+F(f2)(x) = F(f1+f2)(x), wie du jetzt leicht selbst nachrechnen kannst.
Die zweite Aussage beweist man analog.
f(x)=ax³ + bx² + cx + d
z*f(x)=zax³ + zbx² + zcx + zd
F(z*f(x))=3zax² + 2zbx + zc
F(x)=3ax² + 2bx + c
zF(x)=3zax² + 2zbx + zc
Du hast es vielleicht gemerkt: Es handelt sich einfach um die Aussage, dass für die Ableitung einer Funktion die Summen- und die Faktorregel gelten...
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 531
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 15:17: |
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Aufgabe c hat Sotux ja schon ausführlich gelöst. (Das habe ich vorher nicht bemerkt - entschuldige bitte meine Einmischung, Sotux)
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 274
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 13:25: |
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Hi Jair,
kein Problem ! Ausserdem weiss ich, dass meine Skizzen eher etwas zu knapp sind, also ists nur gut, wenn sich auch jemand um ausführlichere Hilfestellung kümmert. Dann hat der Problembesitzer die freie Auswahl, wieviel er noch an Eigenarbeit investiert und braucht nicht ggf. noch dreimal nachzufragen. |
Julie27 (Julie27)
Mitglied
Benutzername: Julie27
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 21:31: |
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danke für eure mühen...komm jetzt klar damit... |
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