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Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 16:02: | 
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E: 2x1 + 6x2 +3x3 -24 = 0
A(10/-6/-3) B(6/2/0) C (12/0/0)
Kugle K hat A als Mittelpunkt und geht durch B.
die Aufgabe:
K schneidet E in eienm Kreis k.
Alle Kugeln, die E in diesem Kreis k schneiden, bilden die Schar Kt.
Weisen Sie nach, dass Kt der folgenden Gleichung genügt:
Kt: (x-(12+2t; 6t; 3t))^2 = 49 t^2 + 40
(vektorschreibweise!)
Kann mir da jemand mit ner verständlichen Erklärung weiterhelfen???
das wäre echt nett!!
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 923
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 20:45: |
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Hallo Avril,
am 1.12.2003 hatte Carrie haargenau die gleiche Frage!
Siehe bitte unter
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/334866.html
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 924
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 21:04: |
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Am Anfang des Threads ist von mir ein Fehler drin, bitte bis ganz runter (Antwort von Jair) lesen!
Gr
mYthos |
Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 13:44: |
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Das verstehe ich irgendwie nicht..das ist so verwirrend mit den zwei Lösungen..
was ist ein Lotfußpunkt??? Die Antwort von Jair versteh ich nicht!
kannst du das evtl. bitte verständlcih lösen mit dem richtigen Weg????
mfg, Avril |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 511
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 13:56: |
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Hi Avril!
Ein Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt einer Lotgeraden mit der Geraden, auf der sie senkrecht steht.
Ist damit vielleicht schon alles klar?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 17:10: |
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nee, ist irgendwie immer noch nicht klar!
aber danke!
ich versteh das einfach nicht...könntet ihr das noch mal nachvollziehbar erklären??? *bitte*
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Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 13:35: |
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hallo ihr beiden,
ist das möglich, das hier noch mal zu erklären????
wäre nett!!!danke! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 941
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 13:03: |
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Hallo!
Damit nun alles in kompakter Form vorhanden ist und du nicht die in Frage kommenden Passagen zusammensuchen musst, nehmen wir die Aufgabe nochmals hier durch. Aber am Gesamtkonzept wird sich dadurch nichts wesentlich ändern.
Die Angabe hier unterscheidet sich ein wenig von der von Carrie im Dez. 2003, weil dort noch von der Strecke BC der innerhalb der Kugel liegende Abschnitt zu berechnen war.
Was macht hier nun der Punkt C? Den brauchen wir zur Berechnung der Kugelschar nicht wirklich ...
Die Tatsache, dass C später als der Mittelpunkt des Schnittkreises der Kugel mit der Ebene aufscheint, ist ein Zufall.
Geg.:
E: 2x1 + 6x2 +3x3 - 24 = 0
A(10|-6|-3) B(6|2|0) [C (12|0|0) ??]
Eine Kugel K hat A als Mittelpunkt und geht durch B. K schneidet E in einem Kreis k.
Alle Kugeln, die E in diesem Kreis k schneiden, bilden die Schar Kt.
Ges.:
Weisen Sie nach, dass Kt der folgenden Gleichung genügt:
Kt: (X - (12+2t; 6t; 3t))² = 49t² + 40
-------------------------------------------------
Der Radius der Kugel ist gleich der Strecke
AB = sqrt(16 + 64 + 9), und die Kugelgleichung lautet somit
[X - (10;-6;-3)]² = 89
Eine geometrische Überlegung zeigt, dass die Mittelpunkte aller Kugeln, die E in einem festen Kreis (mit dem Mittelpunkt M1 € E) schneiden, auf einer Normalen zu E durch A liegen müssen. Diese Normale schneidet E in M1.
Die Gleichung dieser Normalen ist
n: X = (10;-6;-3) + t*(2;6;3)
Um M1 zu ermitteln, berechnen wir für M1 das entsprechende t (t1) [in E einsetzen]:
2*(10 + 2t1) + 6*(-6 + 6t2) + 3*(-3 + 3t1) = 24
20 + 4t1 - 36 + 36t2 - 9 + 9t1 = 24
49t1 = 49
t1 = 1; somit M1(12|0|0)
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Zur Ermittlung des Radius' des Schnittkreises berechnen wir den Abstand d1 des Mittelpunktes A der gegebenen Kugel von E mittels der Hesseschen Normalform:
2x1 + 6x2 + 3x3 - 24 = 0
(2x1 + 6x2 + 3x3 - 24)/7 = 0 .. A(10|-6|-3)
|(20 - 36 - 9 - 24)/7| = r1
d1 = 7
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Der Radius r1 des Schnittkreises, der Abstand d1 (als Katheten) bilden mit dem Radius der gegebenen Kugel R(Ku) = sqrt(89) als Hypothenuse ein rechtwinkeliges Dreieck:
r1² + 49 = 89
r1² = 40
r1 = sqrt(40)
Die bereits besprochene Normale geht auch durch M1, daher kann als Ausgangspunkt natürlich auch der einfachere Punkt M1 eingesetzt werden:
n: X = (12;0;0) + t*(2;6;3)
Die Normale beeinhaltet alle möglichen Mittelpunkte M(t) der Kugelschar, deswegen wird statt X nun M(t) gesetzt:
M(t) = M = (12;0;0) + t*(2;6;3) = ((12 + 2t); 6t; 3t)
X(t) = X sei nun ein beliebiger Punkt auf einer Kugel der Schar.
Die Tatsache, dass alle Kugeln der Schar (Kt) die Ebene E in ein und demselben Kreis mit dem Radius r1 = sqrt(40) schneiden, kann mit der Beziehung beschrieben werden, dass der Normalabstand aller Mittelpunktes M(t) von E, der Radius r = sqrt(40) des Schnittkreises und die Radien MX der Kugeln Kt wiederum ein (das!) rechtwinkeliges Dreieck bilden:
d² + 40 = [MX]² .. [MX]² = [Vekt(X - M)]²
d berechnen wir, indem wir M((12+2t);6t;3t) wiederum in die Hessesche Normalform (HNF) der Ebene E einsetzen:
E:
2x1 + 6x2 + 3x3 - 24 = 0
(2x1 + 6x2 + 3x3 - 24)/7 = 0
(24 + 4t + 36t + 9t - 24)/7 = d
7t = d
49t² = d²
Somit gilt
49t² + 40 = (X - M)², mit
M((12+2t);6t;3t)) ist
[X - ((12+2t);6t;3t)]² = 49t² + 40
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Das ist bereits die Gleichung der gesuchten Kugelschar, die identisch mit der zu beweisenden ist!
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 942
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 13:50: |
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Zu Illustration noch eine kleine Grafik ..
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Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 13:35: |
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Klasse!!!!Ich habe es verstanden!!
VIELEN lieben Dank, Mythos!!!!
Es war auch gleich viel verständlicher mit der Grafik!! danke dafür!!!
*freu* |
