| Autor |
Beitrag |
    
Spindula (Spindula)
Neues Mitglied
Benutzername: Spindula
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 20:42: | 
|
Bestimme eine Gleichung der Ebene durch A(2|3|4) und B(6|5|16), welche vom Ursprung den Abstand 2 hat.
Wie soll denn das gehen ?
Ich hab keine Ahnung |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 920
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 02:12: |
|
Hi,
diese Aufgabe ist nicht ganz leicht, gleichwohl aber interessant.
Eine geometrische Überlegung ist, dass die gesuchten Ebenen Tangentialebenen an die Kugel x² + y² + z² = 4 sein und gleichzeitig durch die Gerade AB gehen müssen.
Dies soll aber hier nicht weiter verfolgt werden, weil die rein analytische Lösung pragmatischer erscheint.
Die gesuchte Ebene habe die Gleichung
ax + by + cz = d
mit d <> 0, weil die Ebene NICHT durch den Nullpunkt geht!
Die Koeffizienten a,b,c,d sind bis auf einen Faktor bestimmt, d.h. die Ebenengleichung kann auf beiden Seiten mit einer beliebigen Zahl <> 0 multipliziert werden, sodass z.B. die Konstante d gleich 1 oder sonst einen beliebigen Wert annehmen kann.
In die Gleichung setzen wir nun die Koordinaten der zwei Punkte A und B ein und setzen vorerst d = 2, weil die nachfolgende Rechnung dadurch leichter wird.
2a + 3b + 4c = 2
6a + 5b + 16c = 2
------------------
Es gibt unendlich viele Ebenen durch ein und dieselbe Gerade, deren Gesamtheit eine Ebenenschar, ein sogenanntes Ebenenbündel darstellt.
Wir ersehen dies auch daraus, dass das obige lineare Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist.
Also können wir für eine der drei Variablen einen Parameter (Scharparameter) einführen, wir nennen ihn t und setzen oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit)
b = t
2a + 3t + 4c = 2 |*3
6a + 5t + 16c = 2 |-
--------------------
4t - 4c = 4
c = t - 1
°°°°°°°°°
2a = -3t - 4t + 4 + 2
a = -(7t/2) + 3
°°°°°°°°°°°°°°°
Somit lautet die Gleichung der Ebenenschar (deren Parameter t € R ist)
((-7t/2) + 3)*x + t*y + (t - 1)*z = 2 |*2
(etwas einfacher ohne Bruch)
(-7t+6)*x + 2t*y + (2t-2)*z = 4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Welches t wir auch immer einsetzen, wir erhalten stets eine Ebene, die durch die Gerade AB geht!
Nun muss noch der Parameter t so bestimmt werden, dass der absolute Abstand des Nullpunktes von der Ebene gleich 2 E ist. Dazu verwenden wir die Hesse'sche Normalform (HNF), in die wir dann den Nullpunkt einsetzen um den Abstand zu erhalten.
[(-7t+6)*x + 2t*y + (2t-2)*z - 4]/sqrt((-7t+6)² + 4t² + (2t-2)²) - 4 = 0 (HNF)
Nun für x, y, z = 0, 0, 0 einsetzen -> Abstand (2)
| -4/sqrt(.....) | = 2 |:2 | dann quadrieren und multiplizieren
4 = 49t² - 84t + 36 + 4t² + 4t² - 8t + 4
57t² - 92t + 36 = 0
t1,2 = [92 +/- sqrt(8464 - 8208)]/114
t1,2 = (92 +/- 16)/114
t1 = 18/19; t2 = 2/3
--------------------
E1:
(-126/19 + 6)*x + (36/19)*y - (2/19)*z = 4 | *19
-12x + 36y - 2z = 76
-6x + 18y - z = 38
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
E2:
(-14/3 + 6)*x + (4/3)*y - (2/3)*z = 4 | *3
4x + 4y - 2z = 12
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir können noch überprüfen, dass die Normalvektoren der beiden Ebenen senkrecht auf den Geradenvektor 2*(2;1;6) stehen, deren skalares Produkt muss Null sein:
(-6;18;-1).(2;1;6) = -12 + 18 - 6 = 0
(4;4;-2).(2;1;6) = 8 + 4 - 12 = 0
Gr
mYthos
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 928
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 19:10: |
|
Auch wenn du neu hier bist, solltest du doch wissen, dass es zum guten Ton gehört, eine Reaktion auf eine Hilfe, die dir zuteil geworden ist, verlauten zu lassen.
Gr
mYthos |
|
