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Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 102
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 16:42: | 
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Gegeben sind in einem Koordinatensystem die Punkte P (5/1/-2) und Q (1/-1/2), die Gerade g: x= (-1/4/7)+ s (-2/2/-1) (Parameterform) und die Ebene
E: 2x1 +x2 +2x3+ 6=0
Die Gerade durch P und Q heißt h.
MEINE FRAGEN:
Der Schnittpunkt der x3- Achse mit der Ebene ist S(0/0/-3).
Die Ebene E schneidet die Kugel K:
(x-(-2/1/-1))^2 = 9 in einem Kreis k.
Zeige, dass k mit der x3-Achse genau einen Punkt B gemeinsam hat.
Auf dem Kreis k liegen die Berührpunkte aller Tangenten, die man von einem Punkt R aus an die Kugel K legen kann. Berechne die Koordinaten von R.
Es gibt eine Gerade durch A (6/0/3), die g und h schneidet.
Stelle eine Gleichung dieser Geraden auf.
Nun sei h* eine beliebige Gerade; A und g bleiben fest. Gib eine Lage von h* an, für die es keine Gerade durch A gibt, die g und h* schneidet
Das wäre superleib, wenn ihr mir hier weiterhelft! danke
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 366
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 21:45: |
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Hi,
Ich rechne die zweite Aufgabe!
E ist also die sogenannte Polarebene...
Es ist
d(m,E)=r2/|p-m|
mit r2=9,m=(-2,1,-1),p=(p1,p2,p3) (Ortsvektor von Punkt R!)
Der Normalenvektor von E ist n=(2,1,2).
Den Abstand d(m,E) erhälst Du leicht mit Hilfe der Hesseschen Normalform:
<c,x>=g , |c|=1 , g ³ 0
-2/3*x1-1/3*x2-2/3*x3=2 => g=2
Damit ist
d(m,E)=<c,m>-g=-1/3
Es gilt
p-m=a*n
|p-m|=sqrt[(2a)2+a2+(2a)2]=3a
Mit Hilfe der Formel
d(m,E)=r2/|p-m|
ergibt sich a=-9,damit ist
p=m+a*n
p=(-20,-8,-19)
oder
R(-20|-8|-19)
-------------
Gruß,Olaf
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Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 09:54: |
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Hi Heavyweight!
Polarebene, aha!(Habe ich noch nie was von gehört) Vielen Dank!!
Kann mir noch bitte jemand bei den anderen beiden Aufgaben helfen??? |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 369
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 17:24: |
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Hi Anabel,
Zu 1)
Berechne die Durchstoßpunkte der x3-Achse durch die Kugel:
x1=0
x2=0
x3=s
(x1+2)^2+(x2-1)^2 +(x3+1)^2=9
(0+2)^2+(0-1)^2 +(s+1)^2=9
s^2+2s-3=0
=> s1=-3 ; s2=1
Also sind die Durchstoßpunkte
D1(0|0|-3) und D2(0|0|1).
Nur D2 erfüllt aber auch die Ebenengleichung! => einziger gemeinsamer Punkt!
Gruß,Olaf |
Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 19:14: |
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vielen vielen dank @ Olaf!!!!
Jetzt brauche ich nur noch hilfe bei 3.) |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 371
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 17:30: |
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Hi Anabel,
Eine weitere Portion Lösung...
1.Teilaufgabe zu 3)
Die Gerade durch P und Q ist
h: x2=(5,1,-2)+t*(-4,-2,4).
Es ist also
a=(6,0,3) ; x1=(-1-2s,4+2s,4-s) ; x2=(5-4t,1-2t,-2+4t)
Verbindungsvektor zwischen A und laufendem Punkt auf g:
d1=x1-a=(-7-2s,4+2s,4-s)
Verbindungsvektor zwischen A und laufendem Punkt auf h:
d2=x2-a=(-1-4t,1-2t,-5+4t)
Sollen d1 und d2 auf einer Geraden ligen,müssen sie linear abhängig sein:
(-7-2s,4+2s,4-s)=u*(-1-4t,1-2t,-5+4t)
Man erhält das Gleichungssystem
1) -7-2s=-u-4ut
2) 4+2s=u-2ut
3) 4-s=-5u+4ut
Die Lösungen sind
s=-3 ; t=-1/2 ; u=-1
In d1 oder d2 eingesetzt erhält man
d1=d2=(-1,-2,7)
und damit
x=(6,0,3)+v*(-1,-2,7)
---------------------
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 03., Februar. 2004 von heavyweight editiert) |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 372
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 18:44: |
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Hi Anabel,
Hinweis zur letzten Aufgabe (Zeitmangel):
Versuche die Koordinaten von h so zu ändern,daß das entstehende Gleichungssystem keine
Lösung hat.Das bedeutet,daß d1 und d2 linear unabhängig sind.
Gruß,Olaf |
Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 107
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 07:48: |
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Danke Danke Danke, dass du mir trotz Zeitmangel geholfen hast!!!!
Mit der letzten Aufgabe komme ich allerdings leider noch nicht klar...
es wäre nett, wenn du mir das noch mal zeigen könntest, wenn du Zeit hast! Danke! |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 373
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 17:34: |
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Hi Anabel,
Es ist
d1=(-7-2s,4+2s,4-s),wir ersetzen das konstante Glied der x-Komponente von h durch eine weitere Variable b:
h: x2=(b,1,-2)+t*(-4,-2,4)
Daraus ergibt sich
d2=x2-a=(b-4t-6,1-2t,-5+4t)
d1=u*d2:
(-7-2s,4+2s,4-s)=u*(b-4t-6,1-2t,-5+4t)
Nach Umformung ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
1) 4ut+(6-b)u-2s-7=0
2) 2ut-u+2s+4=0
3) 4ut-5u+s-4=0
Damit ist die Koeffizientendeterminante:
|4__6-b_-2|
|2__-1___2|=-6b+84
|4__-5___1|
Für det(A)=0 ist das Gleichungssystem unlösbar!
-6b+84=0
b=14
=>
h: x2=(14,1,-2)+t*(-4,-2,4)
---------------------------
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 04., Februar. 2004 von heavyweight editiert) |
Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 13:37: |
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Vielen Dank!!!!
das müsste ich nun auch verstanden haben...
also danke für deine Mühe! |
Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 17:46: |
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sorry, aber ich habe da doch noch mal ne Nachfrage...
Damit ist die Koeffizientendeterminante:
|4__6-b_-2|
|2__-1___2|=-6b+84
|4__-5___1|
Für det(A)=0 ist das Gleichungssystem unlösbar!
-6b+84=0
b=14
Die Koeffizientendeterminante hatte ich noch nie!!
Kann man das auch anders rechnen?? so dass man herausbekommt, wann das Gleichnungssystem unlösbar ist???
Es tut mir leid, dass mit der Polarebene habe ich mir noch mal angeguckt, aber ich werde daraus einfach nicht schlau!
Kann man das auch auf einem anderen (leichteren) Weg rechen???
vor allem kommen mir diese ganzen Winkel alfa, gamma usw. komisch vor...
Könntest du mir noch mal weiterhelfen???
Danke
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 943
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 16:00: |
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@Olaf
Von welchen Variablen ausgehend, hast du deine Koeffizientendetermimante gebildet ??
Wenn es u, t, s sein sollten, stimmt das zunächst nicht, denn dieses ist dann kein lineares Gleichungssystem mehr! Höchstens, du fasst u*t als EINE Variable auf ...
Die Sache mit der Koeffizientendeterminante hat aus einem anderen Grund sowieso noch einen Haken. Denn dass diese Null werden muss, ist nicht hinreichend, denn gleichzeitig müssten alle anderen (nach der Kramer'schen Regel) ermittelten Determinanten zu den einzelnen Variablen UNGLEICH Null werden!
@Anabel
Wir haben die Tatsache einzubringen, dass das Gleichungssystem in u, t, s für diese 3 Variablen keine Lösung haben darf (b ist eine Konstante).
Ich gehe mal - ohne Überprüfung - von der Richtigkeit des Gleichungssystems aus:
1) 4ut + (6-b)u - 2s = 7
2) 2ut - u + 2s = -4
3) 4ut - 5u + s = 4
-------------------------------
1) - 3) (11 - b)u - 3s = 3 |
2* 2) - 3) 3u + 3s = -12 |+
-------------------------------
(14 - b)*u = -9
Damit für u keine Lösung entsteht, muss gelten:
14 - b = 0
b = 14
°°°°°°°
Gr
mYthos
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 374
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 17:01: |
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@Mythos
Ja,ich habe ut als EINE Variable aufgefasst.Ich hätte z.B. z=ut setzen können,was ja zulässig ist.
Zur Determinante:
Vollkommen richtig,da war ich nicht präzise genug!
Danke für Deine Unterstützung!
@Anabel
Kennst Du denn die Hessesche Normalform?Berechne einfach -wie Du es gelernt hast- den Abstand d(m,E).Alpha ist hier ein Skalar!
Du kannst z.B. auch schreiben:
Vektor(p)=Vektor(m)+s*Vektor(n)
Ansonsten gibt es sicher noch andere Lösungsmöglichkeiten!Ich habe heute leider keine
Zeit darüber nachzudenken,da ich auch noch genug zu lernen habe.
Sollte mir noch etwas einfallen...
Gruß,Olaf |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 944
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Februar, 2004 - 18:03: |
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Die andere Frage, nach dem Punkt R, der richtigerweise der Pol der gegebenen Ebene E bezüglich der Kugel K sein muss, lässt sich, wenn auch nicht so elegant, auch ohne Polarebene lösen.
(Übrigens alfa war kein Winkel, sondern ein Parameter!)
R liegt auf einer Normalen zu E durch den Kugelmittelpunkt M(-2|1|-1)! Die Normale n hat als Richtungsvektor den Normalvektor (2;1;2) der Ebene E
n .. X = (-2;1;-1) + t*(2;1;2)
Der Mittelpunkt der Kugel hat von E den Normalabstand d1 = 1/3 (Berechnung durch Hesse'sche Normalform von E)
-----------------------------------------------
Wenn man den Schnittpunkt M1 der Normalen mit der Ebene E sucht, muss man n in E einsetzen
2*(-2 + t) + (1 + t) + 2*(-1 + 2t) = -6
...
und wir erhalten t = -1/9
Das machen wir deswegen, weil für R der normierte Richtungsvektor von n (Länge 1) von M aus in derselben Richtung aufzutragen ist.
-----------------------------------------------
(2x1 - x2 + 2x2 + 6)/3 = 0; M(-2|1|-1) einsetzen:
|(-4 - 1 - 2 + 6)/3| = d1
d1 = 1/3
°°°°°°°°
r_Ku (= 3), d1 und r1 (Radius des Schnittkreises) bilden ein rechtwinkeligen Dreieck, daher ist
d1² = 9 - 1/9 = 80/9
Nun ist r1 wiederum die Höhe in dem rechtwinkeligen Dreieck MRT, wobei T ein Tangentenberührungspunkt auf der Kugel ist. Die Entfernung d2 = M1R berechnen wir nun mittels des Höhensatzes:
d1 * d2 = r1²
(1/3)*d2 = 80/9
d2 = 80/3
°°°°°°°°°
Um nun R zu erhalten, müssen wir von M aus die Entfernung d1 + d2 = 81/3 = 27 längs der Normalen in dieselbe Richtung (-27 mal, weil vorhin t = -1/9 war!) wie zu M1 abtragen:
R = (-2;1;-1) - 27*(1/3)*(2;1;2)
[der normierte Richtungsvektor ist (1/3)*(2;1;2)]
R = (-20;-8;-19)
°°°°°°°°°°°°°°°° |
Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 13:32: |
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DANKE dass das problem mit den Variablen jetzt auch gelöst ist!!
@Mythos: danke auch noch mal für den anderen Rechneweg ohne Polarebene!!!!
Hab jetzt wirklich alles verstanden!
Ihr habt mir sehr weitergeholfen!!
mfg |
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