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Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 16:34: | 
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...der soll berechnet werden.
Das ist doch gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes der einen Gerade von der zu dieser Geraden parallelen Ebene, die die andere Gerade enthält oder???
Jezt weiß ich trotzdem nicht weiter...
Kann mir jemand helfen mit dem Beispiel
g: (-1/4/7)+s*(-2/2/-1)
und
h: (5/1/-2)+k*(-4/-2/4) ?????
danke schon mal |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 915
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 23:36: |
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Exakt.
Diese Ebene wird z.B. von g und h' gebildet, wobei h' g schneidet und parallel zu h ist.
g : X = (-1;4;7) + s*(-2;2;-1)
h': X = (-1;4;7) + r*(-4;-2;4)
-------------------------------
Ebene: X = (-1;4;7) + r*(-4;-2;4) + s*(-2;2;-1)
daraus die Normalvektorform ableiten (Parameter eliminieren), indem mit dem Normalvektor (N, auch abgekürzt möglich) skalar multipliziert wird. Der Normalvektor wird durch das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene ermittelt.
| i j k |
|-2 2 -1| = N = (6;12;12) = 6*(1;2;2)
|-4 -2 4|
Wenn wir die Ebenengleichung nun skalar mit dem abgekürzten Normalvektor (1;2;2) multiplizieren, werden die skalaren Produkte bei r und s gleich Null.
(1;2;2).X = (-1;4;7).(1;2;2)
x + 2y + 2z = 21
°°°°°°°°°°°°°°°°
Diese Ebene bringen wir auf die Hesse'sche Normalform, indem wir durch den Betrag von (1;2;2) dividieren, dieser ist sqrt(1 + 4 + 4) = 3.
(x + 2y + 2z - 21)/3 = 0 .. Hesse'sche Normalform
Darin werden statt x, y, z die Koordinaten eines Punktes von h eingesetzt, d.i. (5|1|-2) und wir erhalten den Abstand d:
|(5 + 2 - 4 - 21)/3| = d
|-18/3| = d
d = 6
°°°°°
Hinweis:
Es gibt auch eine wesentlich kürzere konkrete Formel, nur zur Ermittlung des Normalabstandes zweier windschiefer Geraden allein, in die man "blind" einsetzen kann:
d = |(A1 - A2).No|
A1, A2 sind die Ortsvektoren zu je einem beliebigen Punkt auf den beiden Geraden, No ist der normierte Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
N haben wir schon als (1;2;2) berechnet,
No = N/|N| = (1/3)*(1;2;2)
A1 - A2 = (-1;4;7) - (5;1;-2) = (-6;3;9)
d = (1/3)*(1;2;2).(-6;3;9) = (1/3)*18 = 6
°°°................................................°°°
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 01., Februar. 2004 von mythos2002 editiert) |
Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 10:03: |
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Hallo Mythos,
danke für deine Ausführungen!!
Vor allem für den Hinweis am Schluss--> somit ist das ja alles viel einfacher!!!*freu*
Kann man das auch irgendwie begründen, dass man die Aufgabe auf diesem kürzerem Weg lösen kann????
Zu dem anderen Teil hätte ich auch noch eine Frage :
"Diese Ebene wird z.B. von g und h' gebildet, wobei h' g schneidet und parallel zu h ist.
--> warum wird die Ebene von g und h´ gebildet und warum muss h´ g schneiden???
In der Definition steht doch, es soll eine Parallelebne zu h erstellt werden, die in diesem Fall g enthält! wo kommt da h´ her?
g : X = (-1;4;7) + s*(-2;2;-1)
h': X = (-1;4;7) + r*(-4;-2;4)
-------------------------------
Ebene: X = (-1;4;7) + r*(-4;-2;4) + s*(-2;2;-1) "
--> wie hast du die Ebene aufgestellt?? Soweit ich das sehe besteht sie aus h´ und g, aber wieso??
Ich hoffe meine Fragen sind nicht zu unverständlcih und du hilfst mir noch mal weiter!?
danke!
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Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 10:03: |
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Die weiteren Rechnungen versteh ich aber!!! das wolte ich noch mal sagen! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 921
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 19:51: |
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Hi,
zu deiner ersten Frage:
Den Weg hast du ja selbst vorgegeben und er ist auch sehr gut. Man verschiebt eine der beiden Geraden, nehmen wir h, solange parallel, bis sie mit der anderen Geraden g eine Ebene bildet, in diesem Falle muss sie ja g schneiden, soferne sie nicht selbst parallel zu g ist (das ist hier nicht der Fall). Diese zu h parallele Gerade nennen wir h', und sie spannt mit g eine Ebene auf. Jetzt können wir jeden beliebigen Punkt von h heranziehen, um den Abstand von dieser Ebene zu bestimmen, zu welcher h natürlich parallel ist.
Die Gleichung der Ebene selbst machen wir mit einem kleinen Trick parameterfrei, indem wir die Ebenengleichung mit ihrem Normalvektor multiplizieren, dadurch fallen mit einem Schlag alle beiden Parameter weg.
(wird fortgesetzt mit Antwort auf Frage 2)
Wenn ausserdem noch etwas unklar ist, bitte nochmals fragen!
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 929
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 19:29: |
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Nun noch zu der Formel zur Ermittlung des Normalabstandes zweier windschiefer Geraden:
d = |(A1 - A2).No|
A1, A2 sind die Ortsvektoren zu je einem beliebigen Punkt auf den beiden Geraden, No ist der normierte Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Der Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden zeigt ja bereits in die Richtung des kürzesten Abstandes dieser beiden Geraden (man nennt ihn auch: Gemeinlot).
Jetzt erinnert man sich an die Definition des skalaren Produktes zweier Vektoren a, b:
a.b = |a|*b_a, wobei b_a die Normalprojektion des Vektors b auf a ist.
Wenn man nun den Vektor A1A2, wobei A1 auf g und A2 auf h liegt, auf den normierten Normalvektor projiziert, erhalten wir genau den Normalabstand d.
Das skalare Produkt von No.(A1 - A2) ist |No| mal der Projektion von (A1 - A2) auf No, und da |No| = 1, ergibt sich exakt der Normalabstand
d = No.(A1 - A2)
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Gr
mYthos
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Avril_01 (Avril_01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Avril_01
Nummer des Beitrags: 97
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 20:34: |
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gut, ich glaube, das habe ich soweit verstanden!
Vielen Dank!!!!!! |
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