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Ableitungsproblem

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Abitur » Analysis » Ableitungsproblem « Zurück Vor »

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Toxic (Toxic)
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Junior Mitglied
Benutzername: Toxic

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 20:29:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,
ich habe da ein kleines Problem!

f(x)=4/x² * ln1/x

Wenn ich von dieser Funktion die erste Ableitung bilden will, nehme ich doch die Produktregel oder?
Das heisst:
u = 4/x²
u'= -8x/x^4
v = ln1/x
v'= -1/x
Also:
f'(x)= -4/x³ + (-8x/x^4) * ln1/x

Kann ich das weiter zusammenfassen?
Wenn ja, wie geht das?

Gruß
Michael
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Jule_h (Jule_h)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h

Nummer des Beitrags: 174
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 20:56:   Beitrag drucken

hi Toxic,
-4/x³+(-8x/x4)*ln1/x = -4/x³-(8ln1/x)/x³ = -4(1+2ln1/x)/x³
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Toxic (Toxic)
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Junior Mitglied
Benutzername: Toxic

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 21:29:   Beitrag drucken

Hi Jule,
dank dir für die schnelle Antwort!
Wenn ich damit nun die notwendige Bedingung vom Extrema berechne, kommt da für x= 1,283 raus!

-4(1+2ln1/x)/x³ =0 |*x³
<=>-4(1+2ln1/x) =0
<=>-4-8ln1/x =0 |+4
<=> -8ln1/x =4 |: (-8)
<=> ln1/x =-1/2 |*x²
<=> lnx =1/4 |e
<=> x =1,283

Vielleicht etwas kompliziert gerechnet, aber wenn das stimmen würde wär ich super glücklich! ;)

Gruß
Michael
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Jule_h (Jule_h)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h

Nummer des Beitrags: 175
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 09:52:   Beitrag drucken

nicht ganz...du hast richtig gerechnet bis einschließlich ln1/x =-1/2 .
Aber dann quadrierst du offenbar, und das Qauadrat von
ln 1/x ist nicht ln x!
Du musst an dieser Stelle die dazugehörige Exponentialgleichung schreiben (etwas unmathematisch ausgedrückt: beide Seiten "e hoch...")und erhältst 1/x = e-1/2was dasselbe ist wie 1/x = 1/sqrt e, demnach ist x=sqrt e.
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Toxic (Toxic)
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Junior Mitglied
Benutzername: Toxic

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 10:42:   Beitrag drucken

Japp Jule,
hab ich inzwischen auch gemerkt.
Extrema:
T(1,648|-0,736)

Jetzt hab ich das nächste Problem!
f"(x)=20/x^4 - 24/x^4*lnx = 0

Dann bekomm ich für den Wendepunkt x=2,3...

Stimmt das?
Gruß
Michael
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Jule_h (Jule_h)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h

Nummer des Beitrags: 176
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 11:23:   Beitrag drucken

wieder knapp daneben
deine zweite Ableitung stimmt nicht ganz. Ich leite nach der Produktregel ab:
f'(x) = -4x-3*(2ln1/x+1)
f''(x) = 12x-4(2ln1/x+1)-4x-3*2x*(-x-2)=
24x-4ln1/x+12x-4+8x-4=
24x-4ln1/x+20x-4=
4x-4(6ln1/x+5)
Für die Wendestelle: 6ln1/x+5 =0 ergibt ln1/x = -5/6,
also x= e5/6
Übrigens: ich würde als Ergebnis immer zunächst den exakten Wert ( beim Extremwert also den Punkt (e1/2 / -2/e) ) stehen lassen und den Näherungswert nur für die Zeichnung verwenden..
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Toxic (Toxic)
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Junior Mitglied
Benutzername: Toxic

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 15:09:   Beitrag drucken

Hi Jule,
e^5/6 ist aber 2,3

Oder raff ich jetzt irgendwas nicht?

Gruß
Michael
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Jule_h (Jule_h)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h

Nummer des Beitrags: 179
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 15:19:   Beitrag drucken

doch - aber bei deiner 2.Ableitung steht nicht ln 1/x sondern ln x! Vielleicht hast du dich ja auch nur verschrieben...(und e5/6 ist nur näherungsweise 2,3...nur der Korrektheit halber )
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Toxic (Toxic)
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Junior Mitglied
Benutzername: Toxic

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 19:47:   Beitrag drucken

ln1/x = -lnx

Deshalb kommen wir beide auf das gleiche Ergebnis was im übrigen falsch ist!
Da sollte x=2,7... rauskommen und nicht x=2,3....
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 913
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 20:55:   Beitrag drucken

Hi,

man sollte schon wesentlich früher ln(1/x) durch -ln(x) ersetzen, Toxic hat dies sehr spät und Jule vielleicht bis jetzt noch nicht erkannt ;-)

Und ihr Lieben, setzt doch bitte Klammern, ln1/x ist schließlich nicht dasselbe wie ln(1/x)!

Was die Ableitungen betrifft, wegen ln(1/x) = -ln(x) ist bereits

f '(x) = 4*[2*ln(x) - 1]/x³
und
f ''(x) mittels Bruchregel und Kürzen durch x²

f ''(x) = 4*(5 - 6ln(x))/x^4

Der Wendepunkt liegt also (wie schon bei Jule) bei

6ln(x) = 5
ln(x) = 5/6

x = e^(5/6)
°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos
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Toxic (Toxic)
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Junior Mitglied
Benutzername: Toxic

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 13:23:   Beitrag drucken

Dank dir Mythos,
dann ist die Lösung also doch richtig!

Der Computer sagt nämlich das da für x=2,7... rauskommt! Naja, kleiner programmierfehler!

Gruß
Michael

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