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Christian009 (Christian009)
Junior Mitglied
Benutzername: Christian009
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 15:28: | 
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die Punkte:
P1(10|0|10)
P2(10|12|10)
P3(6|9|12)
P4(6|3|12)
liegen in einer Ebene und bilden ein Viereck, wie berechnet man dessen Flächeninhalt?
vielen Dank im Voraus 
Christian |
Marco81541 (Marco81541)
Mitglied
Benutzername: Marco81541
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 15:48: |
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Hallo Christian,
Punkte P1 und P2 liegen in x= 10 und z=10. Die Punkte P3 und P4 in x=6 und z=12. Somit kannst Du direkt die Länge der Seiten über y ermitteln. Die Seiten zwischen P2 und P3 sowie P4 und P1 musst Du über Pythagoras ermitteln also Differenzen bilden zwischen x, y und z, diese quadrieren, addieren und radizieren. Alles klar?
Ich erhalte als Lösung ein Trapez mit den Seitenlängen: 12 und 6 sowie Wurzel 29. Die Fläche eines Trapez wird berechnet : 1/2 * (a-c)*h. a und c sind 12 bzw. 6. h errechnet sich aus Pythagoras der Seite mit dem Wert Wurzel aus 29 und 1/2 (a-c) also Wurzel aus 20. |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 172
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 15:57: |
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Hallo Christian,
zunächst habe ich die Verbindungsvektoren der Punkte gebildet:VektorP1P2=(0/12/0)
Vektor P2P3=(-4/-3/2),
Vektor P3P4=(0/-6/0)
Vektor P4P1=(4/-3/-2).
Daran siehst du schon, dass es sich um ein Trapez handeln muss, denn die Vektoren P1P2 und P3P4 sind parallel, aber nicht gleich lang.
Die Flächeninhaltsformel für ein Trapez lautet A=1/2(a+c)*h, wenn a und c die Parallelseiten und h die dazugehörige Höhe ist.
Die Längen der beiden Parallelseiten sind 12 und 6.
Um die Höhe zu berechnen benötigst du den Abstand von P3 (oder auch P4) von der Geraden durch P1und P2.
Diese Gerade hat die Gleichung Vektor x = (0/12(0) + t(0/1/0)
Ein "laufender" Punkt P auf dieser Geraden hat also den Ortsvektor P(0/12+t/0)
Ich verbinde diesen Punkt P mit P3 und erhalte den Vektor PP3(6/-3-t/12).
Dieser Vektor muss nun, wenn er die Höhe beschreiben soll, auf der Geraden durch P1und P2senkrecht stehen, also ist sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Geraden gleich 0:
-3-t=0, also t=-3.
Damit in den Vektor PP3ergibt (6/0/12)
dessen Länge ist sqrt 180, das ist die Länge der Höhe.
Das Viereck hat also einen Flächeninhalt von 1/2*(12+6)*sqrt180 = 54sqrt 5
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 909
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 18:14: |
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Hi,
das Viereck lässt sich auch in zwei Teildreiecke zerlegen.
Für die Fläche eines Dreieckes genügt die Kenntnis zweier Seitenvektoren a, b. Dann kann die Fläche
entweder über
A = (1/2)*sqrt(|a|²*|b|² - (a.b)²)
oder über den Betrag des vektoriellen Produktes
A = (1/2)*|a x b|
berechnet werden.
Das erste Dreieck P1P2P3 hat demnach die Fläche
A1 = 12*sqrt(5),
das zweite Dreieck P3P4P1 die Fläche
A2 = 6*sqrt(5)
Die Fläche des Viereckes beträgt somit
A = 18*sqrt(5)
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Ähhhem, wer hat nun den Rechenfehler?
Gr
mYthos (in Eile, bei Bedarf später ausführlicher) |
Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 173
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 19:03: |
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ich! Ich habe mich verschrieben bei der Geradengleichung, die muss natürlich den Stützvektor (10/0/10) haben. Damit ergibt sich der laufende Punkt P(10/t/10), der Vektor PP3=(-4/9-t/2) und nach dem Skalarprodukt dann t=9. Damit ist die Höhe von der Länge 2sqrt5 und der Flächeninhalt 18sqrt5.Sorry! |
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