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Dreamwalker (Dreamwalker)
Mitglied
Benutzername: Dreamwalker
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 17:27: | 
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Hallo !
kann mir vielleicht einer helfen?
Aufgabe : f(x)=(x³-4x²+4x)*e^x
bestimmen sie für a (element von R) eine Tangente
ich hab gedacht man muss a in die erste abeitung einsetzten --> steigung in die Funktion für dne zugehörigen y wert und dann durch die allgemiene Funktion y=mx+b b ermitteln
das ergebnis ist dann aber ellenlang.sind diese Ergebnisse richtig ?
Steigung :
f'(x)=e^x(x³-x²+4)
f'(a)=e^a(a³-a²+4) --> Steigung
f(a)=(a³-4a²+4a)*e^a--> y-Wert
y=mx+b
(a³-4a²+4a)*e^a= e^a(a³-a²+4)*a+b
e^a(-3a²+4a-4)=b
y=[e^a(a³-a²+4)*x]+[e^a(-3a²+4a-4)]
HILFE |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1951
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 17:39: |
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f'=(x³-4x²+4x)*e^x
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Dreamwalker (Dreamwalker)
Mitglied
Benutzername: Dreamwalker
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 18:41: |
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das ist doch die Funktion und nciht die Ableitung ... also ich danke für den Versuch der Hilfe aber weiter bringt mic hdas jetzt in meinem Problem leider nicht  trotzdem danke |
Dreamwalker (Dreamwalker)
Mitglied
Benutzername: Dreamwalker
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 20:50: |
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HILFE °!!!!!!!!!!! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 904
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 22:00: |
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@Friedrich ???
Die Ableitung der Funktion (nach der Produktregel!) ist:
f(x)=(x³ - 4x² + 4x)*e^x
f '(x) = (3x² - 8x + 4)*e^x + (x³ - 4x² + 4x)*e^x
f '(x) = (x³ - x² - 4x + 4)*e^x
Die Steigung m(a) an der Stelle x = a ist daher
m(a) = f '(a) = (a³ - a² - ax + 4)*e^a
Der Punkt P, dessen x-Wert a ist, hat den y-Wert f(a)!
f(a) = (a³ - 4a² + 4a)*e^a
Die Gleichung der Tangente wird nach der allgemeinen Beziehung einer Geraden
m = (y - y1)/(x - x1), wobei P(x1|y1) ein Geradenpunkt ist und x, y die laufenden Koordinaten
y - y1 = m(x - x1)
Für o.g. Angaben:
y - f(a) = m*(x - a)
y - (a³ - 4a² + 4a)*e^a = (a³ - a² - ax + 4)*e^a*(x - a)
das kannst du noch ausmultiplizieren ..
Gr
mYthos
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Dreamwalker (Dreamwalker)
Mitglied
Benutzername: Dreamwalker
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 22:39: |
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danke schön aber das ist doch eigentlich unnötig hier noch mit dem Differenzenquotient zu arbeiten ist mein Weg denn falsch, wenn ja verstehe ich dienen Ansatz nicht. Danke für den Beitrag somit weiss ich dass wenigstens die richtung meines ansatzes stimmt |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 906
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2004 - 23:31: |
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Den Weg (Ansatz) hast du in deiner Frage verbal richtig beschrieben, aber die 1. Ableitung falsch gerechnet, vergleiche mal mit meinem Ergebnis.
Die Ermittlung der Geradengleichung y = mx + b über die Konstante b ist durchaus erprobt und sinnvoll, du solltest damit auf dasselbe Ergebnis kommen wie bei der von mir angewandten "Differenzenmethode", die in Wiklichkeit unter "Punktrichtungsform" bekannt ist und normalerweise nicht so "unnötig" ist ...
Gr
mYthos
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Dreamwalker (Dreamwalker)
Mitglied
Benutzername: Dreamwalker
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 22:16: |
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und für welchen Wert von a wird der Achsenabschnitt der Tangente auf der y- Achse maximal?
(a³ - a² - ax + 4)*e^a*(x - a) ableitung ???? und dann also nach dem Prinzip muss man ja die Ableitung machen udn dann einfach nach a auflösen und kontrollieren was im bereich des möglichen liegt aber ich hab hier keinen Überblick HILFE !!! |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 933
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 00:25: |
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Sorry, mir ist ganz oben ein Fehler unterlaufen!
Soll richtig heissen
....
Die Steigung m(a) an der Stelle x = a ist daher
m(a) = f '(a) = (a³ - a² - 4a + 4)*e^a
[das x gehört durch a ersetzt, statt ax kommt 4a]
Der Punkt P, dessen x-Wert a ist, hat den y-Wert f(a)!
f(a) = (a³ - 4a² + 4a)*e^a
m(a) = f '(a) = (a³ - a² - 4a + 4)*e^a
.....
und nun berechnen wir b, d.i. der y - Achsenabschnitt!
y = m*x + b
y(a) = (a³ - a² - 4a + 4)*a*e^a + b
(a³ - 4a² + 4a)*e^a = (a³ - a² - 4a + 4)*a*e^a + b
b = (a³ - 4a² + 4a)*e^a - a(a³ - a² - 4a + 4)*e^a
b(a) = -e^a * a^4
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Dieser Wert b, besser gesagt dessen Absolutwert (b ist immer negativ und daher wäre es ein Tiefwert), der von a abhängig ist, soll ein relatives Maximum werden. Daher ist b nach a abzuleiten.
(Produktregel)
b_abs(a) = e^a * a^4
b'(a) = e^a * a^4 + 4a³*e^a = e^a * (a^4 + 4a³)
b' -> 0
a^4 + 4a³ = 0
a³(a + 4) = 0
(a1 = 0); a2 = -4
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a = 0 schließen wir aus, denn dann ist f(0) und auch der y-Abschnitt ebenfalls 0.
Mittels der 2. Ableitung auf Art des Extremums prüfen:
b''(a) = e^a * (a^4 + a³) e^a * (4a³ + 3a²)
b''(a) = e^a * (a^4 + 5a³ + 3a²)
b''(-4) = (1/e^4)*(256 - 320 + 48) = -16/e^4 < 0 Maximum
Antwort:
Für a = -4 hat die Tangente den relativ größten y-Achsenabschnitt!
Gr
mYthos
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Dreamwalker (Dreamwalker)
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Benutzername: Dreamwalker
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 18:59: |
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also b gibt den Achsenabschnitt an oder ? ansonsten sehr anschaulich erläutert danke !!!!
die gleichung der Tangente ist :
Steigung a³ - a² - 4a + 4)*e^a
b: -e^a*a^4
also y= (a³ - a² - 4a + 4)*e^a *x + (-e^a*a^4) oder? |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 939
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 22:52: |
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ja, b ist der Abschnitt auf der y-Achse!
Und die Gleichung der Gerade: OK, gilt aber nur für das Extremum, bei deiner 2. Frage, die ja war, für welchen Wert von a der y-Achsenabschnitt maximal wird. Also noch a einsetzen:
y = 36*e^4 * x - 256e^4
y = 4*e^4*(9x - 64)
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