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Matheflasche2 (Matheflasche2)
Neues Mitglied
Benutzername: Matheflasche2
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 19:54: | 
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hi.hab keine ahnung von dieser aufgabe:die funktionen
f(x)=(1/a)*(x²) und
g(x)=1-ax²
schließen eine fläche ein.wie muss a gewählt werden,damit die fläche A maximal wird?
bitte helft mir!!! |
Aktuar (Aktuar)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 08:38: |
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Hallo,
es handelt sich um zwei Parabeln mit Scheitelpunkten auf der y-Achse. Für a > 0 ist f nach oben geöffnet, g nach unten, für a < 0 genau umgekehrt. f geht durch den Ursprung, g ist um +1 nach oben verschoben.
Daher schneiden sich die beiden Parabeln für a > 0, für a < 0 nicht.
Die Schnittfläche zwischen den beiden Kurven erhältst du, indem du zuerst die Schnittpunkte von f und g ermittelst, dann f und g jeweils zwischen diesen Punkten integrierst und schließlich die so erhaltenen Flächen zwischen den Kurven und der x-Achse voneinander subtrahierst. Also:
1. Schritt:
f(x)=g(x) ==> x1,2=+-Wurzel[a/(a^2+1)].
2. Schritt:
F(a) (=Fläche zwischen f und g in Abhängigkeit von a) = Integral x1 bis x2 von g(x)dx - Integral x1 bis x2 von f(x)dx = Integral x1 bis x2 von [1-ax^2-1/a*x^2]dx=[x-1/3*(a+1/a)*x^3] an den Grenzen x1 und x2=x2-1/3*(a+1/a)*x2^3-x1+1/3*(a+1/a)*x1^3.
Einsetzen von x1 und x2 liefert dann F(a)=4/3*Wurzel[a/(a^2+1)].
Wenn F(a) maximal werden soll, so muss F'(a)=0 sein. Es genügt, den Ausdruck unter der Wurzel abzuleiten, da die Wurzelfunktion monoton ist. Also [a/(a^2+1)]'=(1-a^2)/(a^2+1)^2=0. Hieraus folgt unmittelbar a=1 (a=-1, die zweite formale Lösung, kann nicht sein, da sich f und g dann nicht schneiden würden).
Durch Einsetzen von a=1 in die zweite Ableitung von a/(a^2+1) verifiziert man, dass a wirklich ein Maximum ist.
Gruß
Michael |
Matheflasche2 (Matheflasche2)
Neues Mitglied
Benutzername: Matheflasche2
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 10:36: |
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hey supa,vielen dank.ich glaub,das hab ich verstanden.also nochmal danke.
david |
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