| Autor |
Beitrag |
    
Thomsen (Thomsen)
Junior Mitglied
Benutzername: Thomsen
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 17:43: | 
|
Hallo, folgendes Problem:
Wir haben in der Schule folgende Aufgabe gemacht:
f(x)=x²-!x! bei x0=0 differenzierbar??
Ausrufezeichen bedeuten Betragsstriche!
Dann haben wir weiter gemacht:
1. abschnitssweise Darstellung von f:
f(x)= x²-x falls x größer oder gleich 0
x²+x falls x kleiner 0
Problem Nr.1:Ist ein Betrag nicht immer positiv??!!!
Oder wie muss ich das verstehen?
Dann haben wir weiter gemacht:
2. linksseitige Abl.
f l´(0)= lim x²+ x /x = lim x(x+1) /x = lim (x+1) lim = 1
3. rechtsseitge Abl.
f r´(0)= lim x²-x /x = lim x(x-1) /x = lim (x-1)
lim = -1
LÖs: Da f l`(x0) ungleich f r´(x0) --->f`(0) existiert nicht!!
Kann mir das bitte jemand erklären??
Und wie sieht das jetzt aus , wenn es heißt
f(x) = x²+!x! oder f(x) = x²*!x! oder f(x)=x²/!x!
(Wenn es geht, bitte ausführlich vorrechnen wie ich es angefangen habe und wenn es geht mit Graph?!?, damit ich dahinter komme. Ich danke euch vielmals, wenn ihr mir helfen könntet.
Bitte helft mir!!!
Vielen Dank, vielen Dank |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 19:23: |
|
Hallo  !
Den Betrag kann man als Abstand einer Zahl von null auf einem Zahlenstrang deuten.Somit ist der Betrag einer positiven Zahl und ihrer Gegenzahl,also der entsprechenden negativen Zahl gleich. Beispiel |+3|=|-3|=3
D.h.also der Betrag einer Zahl ist stets positiv.
Man könnte den Betrag einer Zahl x dann auch so schreiben:
......x für x>_0
|x|={
......-x für x<0
So wird garantiert,dass bei negativen Einsetzungen für x auch eine positive Zahl raus kommt.Dasselbe können wir nun mit deiner Funktion machen:
.......x^2-(x) für x>_0
f(x)={
.......x^2-(-x) für x<0
Ich habe einfach nur die "Bedingungen für den Betrag in die Funktion eingesetzt"
So nun zur Ableitung:
Differenzierbar an einer Stelle x0 bedeutet,dass die Ableitung an dieser Stelle x0 existiert.Die Ableitung wiederum ist die Steigung der Tangente an der Stelle x0.Es muss also genau ein Wert(nicht zwei und auch nicht keiner!)für die Tangentensteigung vorliegen.
Um die Differenzierbarkeit nun zu überprüfen berechnet man den links-und rechtsseitigen Grenzwert der Ableitung.d.h.man nähert sich der Stelle x0 im Graphen von links und rechts und schaut,welchen Wert die Steigung links und rechts "ganz dicht an x0"(deshalb auch Grenzwert von f´)annimmt.So,wenn diese beiden Steigungen nicht übereinstimmen,gibt es keine Ableitung an dieser Stelle,da die Funktion an einer Stelle schlecht zwei Steigungen haben kann.
Für diese Untersuchung benutzt man zum einen die h-Methode.Dabei berechnet man l-lim f´(x0)=lim (h->0)f´(x0-h)("ein kleines Stück links von der Stelle",nämlich h) und r-lim f´(x0)= lim (h->0)f´(x0+h)(um h rechts von x0). h->0,damit der Unterschied zwischen der Stelle x0 und x0+h bzw.-h minimal wird. Diese Methode benutzt man meistens.Bei zusammengesetzten Funktionen funktioniert dies nicht,wenn die Bereiche,in diesem Fall x>_0 und x<0,an dieser Stelle ineinander übergehen.Dann berechnest du einfach l-lim f´ und r-lim f´ für x->x0 über den Differenzenquotienten mithilfe der für die Bereiche definierten Gebiete.
Erklärung an deinem Beispiel:
Wenn ich die Steigung "etwas" links von x0=0 berechen will,wird x negativ,also x<0.Dafür ist die Funktion so definiert: x^2+x
Also lautet l-lim x->0 f´(x0)=...siehe eigenen Beitrag. Da die berecheten Steigungen nicht identisch sind, existiert f´(x0) nicht!
Hier noch ein Hinweis.Es gilt:
lim (x->x0)f´(x0)= lim (x->x0) [ f(x) - f(x0) ] / [x - x0]
z.B. f(x)= 2x^3 und x0=2
lim (x->2) f´(2) = lim (x->2) [ 2x^3 - 2*2^3 ] / [x - 2 ] = ... (könnte man nicht näher bestimmen)
oder
f(x)=x^2 + x und x0=0
lim (x->0) f´(0)= lim (x->0) [ x^2 + x -(0^2+0) ] / [ x - 0 ] = lim (x->0) [ x^2 + x ]/x
=lim (x->0) ( x^2/x + x/x ) = lim (x->0) (x + 1)=
1
Bei der letzten Umformung musst du x gegen 0 streben lassen,am einfachsten ist es null einzusetzen .
Wie du sieht,konnte man diesen Grenzwert durch Umformung berechnen,im Gegensatz zum vorherigen Beispiel.
MfG
Kratas
(Beitrag nachträglich am 13., Januar. 2004 von Kratas editiert) |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 12:29: |
|
Nachtrag:
Wenn die Funktion nun z.B.f(x)=x+|x-2|ist,lautet die zusammengesetzte Funktion dazu:
.......x+(-(x-2)) für x-2<0 bzw. x<2
f(x)= {
.......x+(x-2) für x-2>_0 bzw. x>_2
Einen Term zwischen Betragsstrichen nennt man Argument (ARG).Dann kann man jede Funktion f(x)=...+/-|ARG|+... auch so schreiben:
.........+/-(-(ARG))+... für ARG<0
f(x)={
.........+/-(+ARG)+... für ARG>_0
Gruß
Kratas |
Thomsen (Thomsen)
Junior Mitglied
Benutzername: Thomsen
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 16:08: |
|
Vielen Dank,
aber wer kann mir meine Aufgaben lösen??
wie z. B. f(x)= x²-|x|,....
und z. B. eine vollständige Lösung zu f(x)= x²+|x-2| bei x0 = 0 ????
sorry, kratas, ich hab deine Ausführun nicht kapiert. Du musst es so ausführlich machen, wie ich oben, bitte!!!!!
Trotzdem Danke!!! |
Kratas (Kratas)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 73
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 21:29: |
|
Schade!Was verstehst du denn genau nicht? Weißt du überhaupt,was ein Differenzenquotienten ist?
Und kennst bzw.kannst du die Berechnung von Grenzwerten ?
Hier sind noch ein paar gute Seiten zum Thema:
1) Betragsfunktionen http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Funktionen/Betragsfunktionen/41051%20Betrag1%2 0SOD.pdf
2)Begriff Ableitung http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Funktionen/Allgemeines/41101%20Ableitungsfunkt ionen%201%20STLOD.pdf
|
|
