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Joerdis (Joerdis)
Neues Mitglied
Benutzername: Joerdis
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 10:00: | 
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Ich brauche unbedingt hilfe!!!!
die folgenden aufgaben kann ich einfach nicht lösen!!! hab schon alles probiert!!! Deshalb bitte ich um den lösungsweg!!! Vielleicht verstehe ichs dann!!!
Aufgabe: Bestimmen Sie, für welchen wert des parameters a>0 die von den graphen der funktionen f und g eingeschlossene fläche den inhalt A hat.
a) f(x)= ax²
g(x)= x
A= 2/3
b) f(x)= x²
g(x)= -ax + 2a²
A= 4,5
c) f(x)= x² - 2x + 2
g(x)= ax + 2
A= 36
ich weis dass die aufgabe b) schon drin steht aber, dass steht da insgesamt zu undurchsichtig!!! wäre nett wenn mir jemand trotzdem den lösungsweg schreibt!!! ich würd mich riesig freuen .
Danke im voraus !!!! |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1911
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 10:52: |
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die eingeschlossenen Flächen sind die
zwischen den 2 Schnittpunkten der Funktionsgraphen.
a)
Schnittpunkte ermitteln, also f(x) = g(x) nach x auflösen
a*x² = x, f(x)-g(x) = a*x² - x = 0 = x*(x*a - 1)
also x1 = 0, x2 = 1/a,
die
Fläche ist A(a) = | integral[ (f(x)-g(x))dx, x = x1 bis x2] |
Stammfunktion F(x) = a*x³/3 - x²/2, für x1=0 ist F(x1) = 0
daher
Fläche A(a) = | a*(1/a)³/3 - (1/a)²/2 | = | (2 - 3)/a² | / 6 = a²/6
und
es soll A(a) = 2/3 = a²/6 gelten also a² = 4, | a | = 2
ich hoffe, diesen Lösungsweg kannst Du nun auch auf b,c
übertragen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 448
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 11:07: |
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Hallo Joerdis!
Dann wollen wir die Sache mal durchsichtiger machen.
a)
Zunächst mal brauchen wir die Schnittstellen der beiden Graphen:
ax²=x
ax²-x=0
x(ax-1)=0
x=0 Ú x=1/a
Nun integrieren wir die Differenzfunktion von Schnittstelle zu Schnittstelle. Dabei wird der Betrag des Integrals genommen, da wir ja den Flächeninhalt betrachten:
|ò0 1/a(x-ax²)dx|=
|(1/2 * x² - a/3 * x³)|01/a|=
|(1/2)*(1/a)²-(a/3)*(1/a)³|=
|(1/2)*(1/a)²-(1/3)*(1/a)²|=
(1/6)*(1/a)²
Dies setzen wir nun gleich dem gewünschten Flächeninhalt
(1/6)*(1/a)²=2/3
(1/a)²=4
a²=1/4
a=±1/2
*** wird fortgesetzt ***
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 449
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 11:21: |
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Oh, da bin ich Friedrich in die Quere gekommen. Entschuldigung!
Trotzdem - weil Joerdis die Aufgabe b ausdrücklich angesprochen hat - hier auch noch die Lösung dieser Aufgabe:
b)
Zunächst mal brauchen wir die Schnittstellen der beiden Graphen:
x²=-ax+2a²
x²+x-2a²=0
pq-Formel benutzen
x=-a/2 ± Ö(a²/4+2a²)
x=-a/2 ± Ö(a²/4+(8a²)/4)
x=-a/2 ± Ö((9a²)/4)
x=-a/2 ± (3a)/2
x=a Ú x=-2a
Nun integrieren wir die Differenzfunktion von Schnittstelle zu Schnittstelle. Dabei wird der Betrag des Integrals genommen, da wir ja den Flächeninhalt betrachten:
|ò-2a a(x²+ax-2a²)dx|=
|(x³/3+ax²/2-2a²x)|-2aa|=
|a³/3+a³/2-2a³-(-8a³/3+2a³+4a³)|=
(9/2)a³
Dies setzen wir nun gleich dem gewünschten Flächeninhalt
(9/2)a³=4,5
(9/2)a³=9/2
a³=1
a=1
So - ich denke, nun kannst du c) sicher auch allein rechnen. Viel Spaß!
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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