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Gebrochenrationale Funktionen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Funktionen » Sonstiges » Gebrochenrationale Funktionen « Zurück Vor »

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Magalie (Magalie)
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Neues Mitglied
Benutzername: Magalie

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Januar, 2004 - 21:01:   Beitrag drucken

Hallo Leute!

Wir schreiben bald eine Klausur. Dazu haben wir eine Übungsklausur bekommen.
Jedoch ohne Lösungen.
Ich bekomme sie jedoch nicht ganz hin.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

Danke,Magalie.

Aufgabe 1
Gegeben ist eine Funktion f durch


f(x)= (x²+4)/3x
Ihr Schaubild sei K.
a) Untersuche K auf
Symmetrie,
Asymptoten,
Nullstellen,
Hoch-;Tief-
und Wendepunkte.
Zeichne K im Bereich -8 kleiner/gleich x kleiner/gleich 8 .

b) Wie groß muss x mindestens gewählt werden, damit der Abstand zwischen dem Schaubild K und der zugehörigen Asymptote für positive x-Werte
weniger als 0,001 beträgt?
c) Für jedes t E R ist eine Funktion f t gegeben durch

f t (x)=tx+ (t+1)/x mit x nicht 0
Für welches t ergibt sich die Funktion f aus Aufgabe a)?

Für welche Werte von t besitzt das Schaubild von f t zwei Punkte mit waagerechter Tangente?

Aufgabe 2
Stelle den Funktionswert für eine Funktion auf, deren Schaubild folgende Eigenschaften hat:
1.) Für x= -1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
2.) Für x=0 eine Nullstelle
3.) Für Betrag x strebt nach + Unendlich ist y= 3 die Asymptote.
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 443
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 00:00:   Beitrag drucken

Hallo Magalie!

quote:

f(x)= (x²+4)/3x
Ihr Schaubild sei K.
a) Untersuche K auf
Symmetrie



f(-a)=((-a)²+4)/(3*(-a))=(a²+4)/(-3a) = - (a²+4)/3a = -f(a)
Der Graph verläuft also punktsymmetrisch zum Ursprung.

quote:

f(x)= (x²+4)/3x
Asymptoten



Kürze durch x:
f(x)=(x+4/x)/3
Für x®±¥ geht 4/x gegen 0.
Daher ist y=x/3 eine schräge Asymptote zu f(x).
Eine vertikale Asymptote findet man bei y=0 (Zähler geht gegen 4, Nenner gegen 0).

quote:

f(x)= (x²+4)/3x
Nullstellen



f(x)=0Ûx²+4=0 # Widerspruch!
Es gibt keine Nullstellen.

quote:


f(x)= (x²+4)/3x
Hoch-;Tief-
und Wendepunkte.



Ableitungen:
f'(x)=((2x*3x)-(x²+4)*3)/(3x)²
=(3x²-12)/(9x²)
=(x²-4)/(3x²)
f"(x)=((2x*3x²)-(x²-4)*6x)/(9x4)
=(24x)/(9x4)
= 8/(3x³)
Notw. Bedg. für lokale Extrema:
f'(x)=0 Û x²-4 = 0 Û x=2 Ú x=-2
Hinr. Bedg. für lok. Extrema:
f"(2)=8/24 > 0
f"(-2)=-8/24 < 0
Bei (2|(4/3)) liegt ein lokales Minimum vor, bei (-2|(-4/3)) ein lokales Maximum.
Graph
*** wird fortgesetzt ***
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 444
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 00:09:   Beitrag drucken


quote:

f(x)= (x²+4)/3x
b) Wie groß muss x mindestens gewählt werden, damit der Abstand zwischen dem Schaubild K und der zugehörigen Asymptote für positive x-Werte
weniger als 0,001 beträgt?



Gemeint ist wohl die schräge Asymptote y=x/3 und der vertikale Abstand (Abstand der y-Werte).
(x²+4)/(3x)-x/3<0,001
(Eigentlich müsste ich den Betrag der Differenz betrachten. Da aber f(x)>x/3 ist, spare ich mir das.)
(x²+4)/(3x)-x²/3x<0,001
4/(3x)<0,001
Für positive x gilt:
4 < 0,001*3x
4000< 3x
x > 4000/3
*** wird fortgesetzt ***
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 445
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 00:22:   Beitrag drucken


quote:

f(x)= (x²+4)/3x
c) Für jedes t E R ist eine Funktion f t gegeben durch
f t (x)=tx+ (t+1)/x mit x nicht 0
Für welches t ergibt sich die Funktion f aus Aufgabe a)?



(x²+4)/(3x) = tx + (t+1)/x
x²/(3x) + 4/(3x) = tx + (t+1)/x
x/3 + (4/3)/x = tx + (t+1)/x
(1/3)x + (4/3)/x = tx + (t+1)/x
Durch Vergleich ergibt sich t = 1/3

quote:

f(x)= (x²+4)/3x
f t (x)=tx+ (t+1)/x mit x nicht 0
Für welche Werte von t besitzt das Schaubild von f t zwei Punkte mit waagerechter Tangente?



Bilden wir die erste Ableitung
ft'(x)=t-(t+1)/x²
ft'(x)=0 Û (t+1)/x²=t Û t+1 = tx²
Û (t+1)/t = x²
Diese Gleichung hat genau dann 2 Lösungen, wenn (t+1)/t positiv ist.
Das ist der Fall, wenn Zähler und Nenner positiv sind (also für t+1>0 und t>0)
oder wenn Zähler und Nenner negativ sind (also für t+1<0 und t<0)
Die erste Bedingung führt auf t>0, die zweite auf t<-1.
Es existieren also 2 Punkte mit horizontalen Tangenten, wenn t>0 oder wenn t<-1 ist.
Eine einzige Tangente mit einer horizontalen Tangente gibt es im Fall t=-1.
In allen anderen Fällen sind horizontale Tangenten nicht möglich.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Magalie (Magalie)
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Benutzername: Magalie

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 14:41:   Beitrag drucken

Hallo Jair!

Danke, Du bist echt meine Rettung
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Magalie (Magalie)
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Benutzername: Magalie

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 15:15:   Beitrag drucken

Hallo Leute!

Wie weiß ich, wenn Schaubilder und Funktionen gegeben sind, welche Funktion zu welchem Schaubild gehört?

VLG, Magalie
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Magalie (Magalie)
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Benutzername: Magalie

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 19:37:   Beitrag drucken

Neben meiner neuen Frage mit den Schaubildern und den Funktionen habe ich noch 2 weitere:
1. Wenn wir eine Polstelle haben und das Verhalten an der Polstelle bestimmen sollen, sehe ich mir das Schaubild an.
Dann schreibe ich entweder:
Polst. mit VZW, da
lim f(x)= + Unendlich
x-)3+
lim f(x)= -Unendlich
x-)3-
oder
Polst. ohne VZW, da
lim f(x)=+Unendl.
x-)2+
lim f(x)= +Unendl.
x-)2-

Wenn ich es aber rechnen muss, bekomme ich es nicht hin.
Bsp: (x²-2x-1)/ (x+1)
Polstelle: xp= -1
Verhalten an Polstelle von rechts:

lim f(x)= lim ((-1+h)-3+(2/(-1+h+1)))
x-)-1+ h-)0
= lim (-4+h+(2/h)) -) + Unendlich
h-)0
Kann mir vielleicht jemand erklären, wie das funktioniert?

2. Wir haben einige Extremwertaufgaben gerechnet, die für die KA wahrscheinlich umgeändert werden.

A. Welches Rechteck mit dem Unfang 15 cm hat den größten Flächeninhalt, welches Rechteck mit dem Flächeninhalt 18 cm² hat den kleinsten Umfang?

B. Welche Punkte auf dem Schaubild der Funktion f mit f(x)= 2/x² haben vom Ursprung den kleinsten Abstand?

C. Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechtecks zu wählen, damit die Querschnittsfläche 8 m² groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird?

Wie könnte man diese Aufgaben etwas umändern (Bitte mit Rechnung. Prinzip bleibt gleich, Änderungen wie zB kein aufgesetzter Halbkreis, sondern Rechteck)?

VlG, Magalie}}}
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 455
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 22:13:   Beitrag drucken

Hallo Magalie!
Ich glaube nicht, dass ich heute Abend noch alle deine Fragen beantworten kann, aber ich fange einfach mal vorne an:
Wenn Graphen und Funktionen gegeben sind, kannst du z.B. durch die Berechnung einiger Funktionswerte herausfinden, welcher Graph zu welcher Funktion gehört. Nimm mal an, da kommt z.B. die Funktion f(x)=x²+2 vor. Du setzt für x z.B. 0 ein und erhältst f(0)=2. Nun siehst du nach, welcher der Graphen durch (0|2) geht und bist fertig. Natürlich solltest du nicht gerade die Stellen einsetzen, an denen sich 2 oder mehr Graphen schneiden. Hilft dir das weiter?
Ansonsten könnte man sagen, dass man an der evtl. vorhandenen Symmetrie vieler Graphen einiges erkennen kann. Melde dich dazu einfach noch mal.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 456
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 22:31:   Beitrag drucken

Zu den Polstellen:
Du hast ganz richtig gerechnet:
limh+®0 ((-1+h)²-2(-1+h)-1)/(-1+h+1)=
limh+®0 (1-2h+h²+2-2h-1)/h=
limh+®0 (2-4h+h²)/h=
limh+®0 (2/h - 4 + h)
Nun geht h (mit positivem Vorzeichen) gegen 0. -4 bleibt konstant. 2/h wächst aber über alle Grenzen, weil 2 durch eine immer kleiner werdende positive Zahl geteilt wird. Also ist der Grenzwert +¥.
limh-®0 ((-1-h)²-2(-1-h)-1)/(-1-h+1)=
limh-®0 (1+2h+h²+2+2h-1)/(-h)=
limh-®0 (2+4h+h²)/(-h)=
limh-®0 (-2/h - 4 - h)
Auch hier geht h gegen 0, -4 bleibt konstant, aber -2/h fällt (bei positivem h) unter alle Grenzen (die negative Zahl -2 wird durch immer kleiner werdende positive Zahlen geteilt).
Vielleicht kannst du aber auch die folgende Methode benutzen: Setze für den Zähler die Nullstelle des Nenners ein. Du erhältst normalerweise eine positive oder eine negative Zahl. Überlege dir dann wie der Nenner sich verhält, wenn du von links an seine Nullstelle herangehst, und wie er sich verhält, wenn du von rechts herangehst. Durch einfachen Vorzeichenvergleich erkennst du, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 457
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 22:38:   Beitrag drucken

Zu deiner 2. Frage fehlen mir jetzt sowohl die Zeit als auch die Phantasie. Wenn du aber die Beispielaufgaben verstanden hast, wirst du die "leicht abgeänderten" Aufgaben in der Klassenarbeit locker hinkriegen.
Bei Aufgabe b) könnte man evtl. einfach eine andere Funktion betrachten, bei a) andere Zahlen wählen oder vielleicht auch ein gleichschenkliges Dreieck betrachten.
Aber statt darüber zu spekulieren, rechne einfach so viele verschiedene Aufgaben, wie es dir möglich ist. Dann klappt's bestimmt auch in der Arbeit.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Magalie (Magalie)
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Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 15:45:   Beitrag drucken

Bräuchte mal wieder Hilfe:
Gegeben ist die Funktion f(x)= 2/(x²+1). Ihr Schaubild sei K.
a) Nennen sie wichtige Eigenschaften von K.
b) Wie lautet die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f im Punkt B (-1/1)
c) Die Tangente in Punkt B und die Gerade mit der Gleichung y= 3x-1 schneiden sich. Ermitteln Sie den Schnittwinkel.
d) K schneidet das schaubild der Funktion g mit g(x)= x³-1 im Punkt S(X0/Y0). Berechnen Sie X0 mit dem Newton-Verfahren auf 3 Dezimalen gerundet.
e) Der Punkt Q(u/v) auf dem Schaubild von f und der Punkt P (u/0) sind Ecken eines zur y-Achse symmetrischen Rechtecks. Bei welchen Werten für u ist der Flächeninhalt des Rechtecks ein Extremwert? Um welche Art von Extremwert handelt es sich?

Wäre nett, wenn mir jemand hilft.

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