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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 15:03: | 
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1) K1: x1²-8x1+x2²-6x2 + 21 = 0
K2: x1² + x2² + 2x2 - 19 = 0
Die zwei Kreise haben zwei Schnittpunkte. Nur wie berechne ich diese? Gleichsetzen bringt nichts und bei Gauß komme ich nicht weiter.  (
2) Kann mir jemand an einem selbst gewählten Beispiel erklären, wie man die Tangenten von einem Punkt, der außerhalb eines Kreises liegt, an einen Kreis ermittelt?
Danke im voraus! |
Metaphy (Metaphy)
Junior Mitglied
Benutzername: Metaphy
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 15:14: |
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Hmmm, komisch, wieso sind das Kreise?
Normalerweise lautet die Kreisgleichung doch:
y=sqrt(x^2-a) mit a=konst. oder meinst du eine Paramterdarstellung? wird irgendwie nicht ganz klar.
Gruß
Huseyin |
Aktuar (Aktuar)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 16:02: |
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Hallo Katrin,
zu 1): Subtrahiere K2 von K1, dann erhältst du eine lineare Gleichung zwischen x2 und x1. Löse diese nach x2 auf und setze den gefundenen Ausdruck in K1 oder K2 für x2 ein. Die sich für x1 ergebende quadratische Gleichung kannst du z. B. mit der p,q-Formel lösen. Setze diese x1-Lösungen in die lineare Gleichung zwischen x1 und x2 ein, dann erhältst du die zugehörigen x2-Werte.
Gruß
Michael |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 872
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 23:17: |
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@Huseyin
Deine "Kreisgleichung" ist erstens falsch (diese ist nämlich eine gleichseitige Hyperbel) und zweitens gibt es auch Kreise, die den Mittelpunkt NICHT im Ursprung haben!
Bitte vergewissere dich zuerst selbst, bevor du voreilig diffuse bzw. falsche Antworten gibst!
Gr
mYthos
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Metaphy (Metaphy)
Junior Mitglied
Benutzername: Metaphy
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 23:38: |
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Ähemm! Das ich f(x)=sqrt(a-x^2) meinte, sollte wohl klar sein (bitte nicht an tippfehlern aufhängen). 2. war das keine "Antwort" sondern eine einfache Frage, ich kannte diese Darstellung, die ich immernochnicht verstehe, eben nicht. Eine Frage ist bekanntlich weder "falsch" noch "diffuse". Also bitte sieh ein, dass deine Reaktion unangemessen war.
Gruß
Huseyin |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 873
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 23:55: |
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Zu 2.
Die Tangenten von einem Punkt P (ausserhalb) eines Kreises legt man vorzugsweise mittels der Polaren.
Die Polare p bezüglich eines Kreises k ist die Verbindungsgerade der beiden Berührungspunkte T1 und T2 jener Tangenten, die von P an den Kreis gelegt werden können. Man erhält sie, indem man den Pol P in die Spaltformel der Kreisgleichung einsetzt (sh. Thread: «Tangente bestimmen»):
Für den Kreis
(x1 - u)² + (x2 - v)² = r² [Kreis (M(u|v);r]
und den Pol P(x1'|x2') lautet die Gleichung der Polaren p:
allg.:
p: (x1' - u)*(x1 - u) + (x2' - v)*(x2 - v) = r²
Beispiel:
Gegeben: Kreis k: (x1 - 4)² + (x2 - 2)² = 25 [M(4|2); r = 5], P(-1/17)
Gesucht: Tangenten t1, t2 von P an k
p:
(-1 - 4)(x1 - 4) + (17 - 2)*(x2 - 2) = 25
-5x1 + 20 + 15x2 - 30 = 25
-x1 + 3x2 = 7; ; diese gerade p mit k schneiden:
°°°°°°°°°°°°°
x1 = 3x2 - 7; dies in k ->
(3x2 - 7 - 4)² + (x2 - 2)² = 25
9x2² - 66x2 + 121 + x2² - 4x2 + 4 = 25
10x2² - 70x2 + 100 = 0
x2² - 7x2 + 10 = 0
x2 = 2 oder x2 = 5 -> (aus p)
x1 = -1 oder x2 = 8
Damit erhalten wir die beiden Berührungspunkte T1(-1|2) und T2(8|5). Die Tangenten t1 und t2 lassen sich nun aus den gegeben Punkten P, T1 bzw. P, T2 leicht ermitteln:
t1: X = (-1;2) + r*(0;1)
(der Richtungsvektor wurde aus (15;0) abgekürzt)
t2: X = (8;5) + s*(3;-4)
(der Richtungsvektor wurde aus (9;-12) abgekürzt)
Mit Hilfe einer Skizze kannst du die Richtigkeit der Ergebnisse verifizieren und siehst ausserdem, dass eine Tangente normal auf der x1 - Achse steht. Mittels der Methode, die Tangente mit x2 = m*x1 + d (m ist die Steigung) anzusetzen bzw. mit der sog. Berührbedingung hättest du die eine senkrechte Tangente (t1) nicht so leicht erhalten, da deren Steigung nicht definiert ist [m1 = tan(90°) = oo].
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 874
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Januar, 2004 - 00:10: |
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@Huseyin
entschuldige, ich habe nicht damit gerechnet, dass du eine Frage mit einer anderen Frage deinerseits beantwortet haben wolltest!
Normalerweise hätte ja Katrin's Frage beantwortet werden sollen.
Nun noch zur allgemeinen Kreisgleichung (ich verwende jetzt im Gegensatz zur Schreibweise bei Katrin statt x1 und x2 die gebräuchlichere Bezeichnung x und y):
Die allg. Kreisgleichung einen Kreises k mit dem Mittelpunkt M(u;v) und dem Radius r lautet:
(x - u)² + (y - v)² = r² oder vektoriell:
(X - M)² = r²
Wenn man dies ausmultipliziert, folgt
x² - 2ux + y² - 2vy + u² + v² - r² = 0 bzw. allgemein:
x² + y² + ax + by + c = 0
Wenn man nun umgekehrt aus dieser Form wieder den Mittelpunkt und den Radius ermitteln will, wendet man das Verfahren der quadratischen Ergänzung an:
Beispiel Kreis 1 aus der Angabe:
x² - 8x + y² - 6y + 21 = 0
x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 = -21 + 16 + 9 ->
(x - 4)² + (y - 3)² = 4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Daraus: M(4|3); r = 2
Gr
mYthos
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Metaphy (Metaphy)
Junior Mitglied
Benutzername: Metaphy
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Januar, 2004 - 00:27: |
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Ich wollte es nicht beantwortet haben^^
Vielen Dank für deine Mühen!
P.S.: Ist es normal, dass hier oben immer eine Fehlermeldung steht und das man sich bei jeder Antwort immer noch einloggen muss, bzw. die Daten eingeben muss? Und wenns nicht normal ist, wie kann ichs ändern?
Gruß
Huseyin |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 876
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Januar, 2004 - 12:48: |
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Wenn es keine Antwort und auch keine Frage war, was dann? Aber lassen wir das, es ist eh schon gegessen, Hauptsache, das mit der Kreisgleichung ist nun verständlich!
Ja, es ist normal, dass du bei jeder neuen Antwort den Benutzernamen und das Passwort eingeben musst.
Die Fehlermeldung kann durch Einsatz eines Ad-Blockers (Programm zum Unterdrücken von Popups und Werbebannern) oder restriktive Sicherheitseinstellungen deines Browsers verursacht werden, denn ganz oben will sich immer ein Werbefenster von Amazon.de etablieren. Du kannst es ggf. zulassen, es macht sonst nichts weiter.
Gr
mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 128
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Januar, 2004 - 12:58: |
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Vielen Dank! |
