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Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 08:20: | 
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Hallo ihr lieben Helfer,
stecke mal wieder in meinen Mathehausaufgaben fest und verzweifle wieder an diesen 2 Aufgaben :
1.Aufgabe:Aus einem Kreis soll ein Sektor geschnitten und daraus ein Kegel geformt werden.Bei welchem Zentriwinkel hat der Kegel maximales Volumen??
2.Aufgabe: Welcher Kreiszylinder hat bei gegebener Ao das größte Volumen??
Bitte ,bitte helft mir!!!
Vielen Dank schon mal im Vorraus!!
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 865
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 15:11: |
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Hi,
zu 1.
Der Kreissektor habe den konstanten Radius s, das ist gleichzeitig die Seitenlinie des Kegels, und die variable Bogenlänge b (ungleich Null). Die Bogenlänge b muss gleich dem Umfang 2r*pi des Basiskreises des Kegels sein.
Somit ist:
b = 2*r*pi -> r = b/(2pi)
Der Kegel hat den Radius r, die Höhe h und die Mantellinie (Seitenlinie) s. Sein Volumen ist
V = r²*pi*h/3 .. Hauptbedingung
r einsetzen
V = b²/(4pi²)*pi*h/3 = b²h/(12pi)
r, h und s bilden ein rechtwinkeliges Dreieck:
r² + h² = s² (Nebenbedingung)
h² = s² - b²/(4*pi²) = (4pi²s² - b²)/(4pi²)
h = sqrt(4pi²s² - b²)/(2pi), in V
V = b²sqrt(4pi²s² - b²)/(24pi²)
Für die Extremstelle darf der konstante Faktor 24pi² weggelassen und dann quadriert werden:
V(b) = b^4*(4pi²s² - b²) = 4b^4*pi²s² - b^6
V'(b) = 16b³pi²s² - 6b^5
V''(b) = 48b²pi²s² - 30b^4
V'(b) = 0 -> 2b³*(8pi²s² - 3b²) = 0
(b <> 0)
b = 2s*pi*sqrt(2/3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
V''(b=2s...) = 48*4s²pi²*(2/3)pi²s² - 30*16*s^4*pi^4*(4/9)
V''(b=2s...) = 128*s^4*pi^4 - 640*s^4*pi^4*(1/3)
V''(b=2s...) = -256*s^4*pi^4 < 0, Max.
Aus b = 2s*pi*sqrt(2/3) kann man nun den Zentriwinkel berechnen:
(Formel: b = s*pi*alfa°/180°, alfa im Gradmaß)
2s*pi*sqrt(2/3) = s*pi*alfa/180 |*180/(s*pi)
360*sqrt(2/3) = alfa
alfa = 293,94°
°°°°°°°°°°°°°°
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 866
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 15:47: |
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2.
Zylinder:
Radius r, Höhe h
Ao = 2r²pi + 2rpi*h .. Nebenbed.
h = (Ao - 2r²pi)/2rpi
V = r²*pi*h .. Hauptbed.
V = r²*pi*(Ao - 2r²pi)/2rpi
(r*pi kürzen, konst. Faktor 2 weglassen)
V(r) = r*(Ao - 2r²pi)
V(r) = r*Ao - 2r³pi)
V'(r) = Ao - 6r²pi
V''(r) = - 12r*pi < 0 Max.
V'(r) = 0 ->
r = sqrt(Ao/(6pi))
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aus Nebenbed.
h = (Ao - (Ao/3))/(2pi*sqrt(Ao/(6pi)))
h = (2Ao/3)/sqrt(2pi*Ao/3)
h = sqrt(4Ao²*3/(9*2pi*Ao))
h = 2*sqrt(Ao/(6pi))
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Wir erkennen, dass h doppelt so groß ist, wie der Radius; der Achsenschnitt dieses Zylinders ist ein Quadrat, deswegen heisst er auch "gleichseitiger Zylinder".
Vmax = r*(Ao - 2r²pi)/2
Vmax = sqrt(Ao/(6pi))*(Ao - Ao/3)/2
Vmax = sqrt(Ao/(6pi))*Ao/3
Vmax = Ao*sqrt(Ao/(54pi))
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Gr
mYthos
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Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 18:57: |
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Danke Mythos ,du bist ein echter Schatz!!!
Da fehlen einem ja richtig die Worte....
Bin so froh ,dass es euch gibt!!
Dankeschön!!!! |
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