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Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 11:01: | 
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Hallo ihr Lieben ,
sitz jetzt schon eine Stunde an diesen 2 Aufgaben und bekomm das irgendwie nicht richtig auf die Reihe ,könnt ihr mir wieder weiterhelfen,bitte??
1.Aufgabe:Zwei Straßen kreuzen sich im Punkt S rechtwinklig .Auf der einen Straße befindet sich ein Fahrzeug F1 in 70m Entfernung von S ,auf der anderen Straße ein Fahrzeug F2 im Abstand von 60m zu S. Beide Fahrzeuge setzen sich gleichzeitig Richtung S in Bewegung , F1 mit der konst. Geschwindigkeit v1 = 3 m/s und v2 = 4m/s. Wann haben beide Fahrzeuge den kürzesten Abstand voneinander?
2.Aufgabe:An einer Zimmerwand sitzt eine Fliege ,6 dm unter der Decke und 2 dm von der Zimmerkante entfernt. An der Nachbarwand sitzt eine Spinne ,3 dm unter der Decke und 1 dm von der gleichen Zimmerkante entfernt. Wie müsste sie den kürzesten Weg zur Fliege nehmen??
Bei 1. kann ich mir das wenigstens noch bildlich vorstellen ,was bei 2. nicht der Fall ist!!
Helft mir bitte!!
Danke
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 856
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 13:03: |
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Hi,
zu 1.
Der Abstand (Distanz d) der beiden Fahrzeuge ergibt sich mittels Pythagoras aus den beiden noch restlichen Wegen bis zu S der beiden Fahrzeuge. Die Zeit in Sekunden, die die Fahrzeuge bislang dazu benötigt haben, sei x.
Wir verwenden die Formel: Weg = Geschwindigkeit mal Zeit und achten auf die gleichen Einheiten (m, s).
Kathete 1: 70 - 3x
Kathete 2: 60 - 4x
-------------------
Die Distanz ist d, wenn diese ein Extremum werden soll, dann muss dies auch deren Quadrat tun:
d² = f(x) = (70 - 3x)² + (60 - 4x)² ... Extr.
f '(x) = 2*(70 - 3x)*(-3) + 2*(60 - 4x)*(-4)
f '(x) = -420 + 18x - 480 + 32x = 50x - 900
f '(x) = 0 ->
50x = 900
x = 18
°°°°°°°
d² = (70 - 54)² + (60 - 72)²
d² = 256 + 144 = 400
d = 20
°°°°°°°
Nach 18 s (Sekunden) haben die Fahrzeuge den (kürzesten) Abstand d = 20 m voneinander. Das Fahrzeug F2 ist dabei bereits 12 m über den Kreuzungspunkt hinausgefahren, es befindet sich daher dann auf der anderen Seite der Kreuzung.
Die 2. Ableitung:
f ''(x) = 50 > 0 zeigt ein Minimum!
Gr
mYthos
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 965
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 13:06: |
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Hi!
Ein kleiner Tipp zur 2. Aufgabe:
Es hat nur den Anschein, als müsste man das Ganze in 3 Dimensionen betrachten. Da die Spinne aber nur über die Wände + Decke laufen und nicht durch den Raum fliegen kann, muss man nur zwei ebene Fälle betrachten:
1. Die Spinne geht über die Decke.
2. Die Spinne geht über die nächstgelegene Wand.
Ich denke, es ist klar, dass der Weg über die Decke und die nächstgelegene Wand nicht der kürzeste sein kann.
Nun kannst du dir für beide Fälle Skizzen machen:
Für 1. klappst du die beiden Wände (Start und Ziel) nach oben und kannst den direkten Weg über die Decke einzeichnen.
Für 2. klappst du die beiden Wände so zur Seite, dass sie mit der Wand dazwischen eine Ebene bilden. Dann kannst du den zweiten Weg einzeichnen.
Nun musst du versuchen, beide Modelle mathematisch auszudrücken. Dabei musst du natürlich beachten, dass die Decke und die mittlere Wand dieselbe Breite haben.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 858
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 14:25: |
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Zu 2.
Die Spinne wird auf dem Weg zur Fliege die senkrechte Zimmerkante x dm unter der Decke treffen. Ihr Weg bis dorthin ist die Hypothenuse des rechtwinkeligen Dreieckes mit den Katheten 1 und (x - 3), der restliche Weg bis zur Fliege ergibt sich analog aus dem rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten 2 und (6 - x). Die Summe s der beiden Hypothenusen soll nun minimal sein, s = s(x), hängt von x ab.
s(x) = sqrt(1 + x² - 6x + 9) + sqrt(4 + 36 - 12x + x²)
s(x) = sqrt(x² - 6x + 10) + sqrt(x² - 12x + 40)
s'(x) = (x - 3)/sqrt(x² - 6x + 10) + (x - 6)/sqrt(x² - 12x + 40)
s'(x) -> 0
[mit den beiden Wurzeln kreuzweise multiplizieren, danach quadrieren]
(x - 3)²*(x² - 12x + 40) = (x - 6)²*(x² - 6x + 10)
nach Ausmultiplizieren fallen die x^4 - und x³ - Glieder weg und es kommt:
3x² - 12x = 0 |:3 und x ausklammern
x*(x - 4) = 0
x1 = 0; x2 = 4
für x = 0 müßte die Spinne zuerst bis in die obere Ecke kriechen, man erkennt, dass der Weg dann ein Maximum ist, für x = 4 ergibt sich ein Minimum. Exakt müsste man noch die 2. Ableitung bilden und die x-Werte einsetzen, das Vorzeichen gibt ja dann genau Auskunft.
Die Lösung ist also die, dass die Spinne unter einem Winkel von 45° nach unten gehen muss, sie trifft die Zimmerkante eben genau 4 dm unterhalb der Ecke, und dann geht sie weiterhin unter dem selben Winkel von 45° nach unten, bist sie die Fliege trifft. Die Katheten der beiden rechtwinkeligen Dreiecke betragen je 1 bzw 2 dm. Der (minimale) Weg, den die Spinne dabei zurücklegt, ist
s = sqrt(1 + 1) + sqrt(4 + 4) = sqrt(2) + 2*sqrt(2) = 3*sqrt(2) dm (= 4,24 dm)
Diesen Weg erkennt man jetzt auch sehr schön, indem man die beiden Zimmerwände auseinanderklappt, bis sie in einer Ebene liegen. Spinne und Fliege können jetzt durch eine Gerade (das ist der kürzeste Weg zwischen den beiden Punkten) verbunden werden. Die beiden kleineren rechtwinkeligen Dreiecke bilden zusammen ein größeres rechtwinkeliges, mit den Katheten 3 und 3, die Hypothenuse s = sqrt(18) = 4,24 dm. Infolge Ähnlichkeit (Strahlensatz) ist zu erkennen, dass die Gerade die Zimmerkante 1 dm unterhalb des Ausgangspunktes, also bei 4 dm, schneidet.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 859
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 15:07: |
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Hier noch eine Grafik zur Veranschaulichung:
Gr
mYthos
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Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 16:40: |
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Vielen ,vielen Dank und ein riesengroßes Lob an meine tollen Helfer.
Ohne euch würde ich es nie alleine hinbekommen!!
Schön ,dass es euch gibt!!!
Danke!!!!!!!!!!! |
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