| Autor |
Beitrag |
    
Anastäschen (Anastäschen)
Neues Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 13:33: | 
|
Hallo ihr Lieben ,
1000 Dank noch mal für die Lösungen .Riesig würde ich mich freuen ,wenn ihr mir weiter helfen könntet .Wünsche euch schon mal im ein „ Frohes Weihnachten“.
1.Aufgabe: Ein Draht von der Länge a wird zu einem Rechteck gebogen. Dieses soll um eine der Seiten rotieren.Unter welchen Umständen hat der entstehende Zylinder
a.)maximale Mantelfläche
b.)maximales Volumen?
2.Aufgabe : Die Tragfähigkeit T eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt der Breite x und der Höhe y errechnet sich nach der Formel T = k*x*y² ,wobei k ein vom Material abhängiger Proportionalitätsfaktor ist. Aus einem zylindrischen Holzstamm vom Radius r soll ein derartiger Balken mit maximaler Tragfähigkeit geschnitten werden.Wie müssen x und y gewählt werden?
3.Aufgabe: Die Geraden mit den Gleichungen x=a und x=2*a ( 0<a<1,5) schneiden die Abszisse in den Punkten A und B und die Kurve mit der Gleichung (y= 3*x² -x hoch 3) in den Punkten C und D .Für welchen Wert von a wird der Flächeninhalt des Trapezes ABCD maximal?
Bitte ,bitte helft mir!!
DANKE!!!
|
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 412
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 14:47: |
|
Hi Anastäschen!
1) Die Aufgabe ist zwar etwas ungewöhnlich gestellt, aber trotzdem sehr einfach. Wenn du den Draht gebogen hast, dann hast du für zwei benachbarte Seiten die Hälfte der Drahtlänge benutzt. Ist die Breite des Rechtecks also x, so ist die Höhe a/2 - x.
Am besten wählen wir die Bezeichnungen so, dass die Seite, um die gedreht wird, die Länge a/2-x hat. Dann ist der Radius des Zylinders = x, seine Höhe eben a/2-x.
Die Mantelfläche ist einfach der Kreisumfang (2px) mal die Höhe a/2 - x. Also:
M(x) = 2px*(a/2-x) = 2p((a/2)x-x²)
M'(x)= 2p((a/2)-2x)
M"(x)= 2p(-2)
M'(x)= 0 <=> x=a/4
Die 2. Ableitung ist immer negativ, also handelt es sich bei x=a/4 um ein Maximum. Somit muss der Draht zu einem Quadrat gebogen werden, damit der Mantel möglichst groß wird.
Für das Volumen gilt
V(x) = px²(a/2-x) = p((a/2)x²-x³)
V'(x)= p(ax-3x²)
V"(x)= p(a-6x)
V'(x)=0 <=> x=0 oder x=a/3
Für x=0 ergibt sich (natürlich) ein minimales Volumen. Für x=a/3 aber wird die 2.Ableitung negativ, damit liegt hier ein Maximum vor. Die Höhe des Rechtecks beträgt dann a/6.
(wird fortgesetzt)
Mit freundlichen Grüßen
Jair
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 840
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 14:58: |
|
Hi, zu 1.
Die Länge des Rechteckes sei x, die Höhe (d.i. die Seite, um die das Rechteck rotiert) ist dann (a - 2x)/2
Der entstehende Zylinder hat den Radius r = x und eben die Höhe h = (a - 2x)/2
a.) Mantel maximal
M = 2pi*r*h = pi*x*(a - 2x) .. Hauptbedingung
M(x) = ax - 2x² (pi darf als konst. Faktor weggelassen werden)
M'(x) = a - 4x
M''(x) = -4 < 0, es gibt nur Maximum
M' = 0 -> x = a/4; h = (a - a/2)/2 = a/4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Der Radius des Zylinders ist a/2, dessen Höhe ebenfalls a/4
b.) Volumen maximal
V = r²*pi*h = (pi/2)*x²*(a - 2x) .. Hauptbedingung
V(x) = ax² - 2x³ (pi/2 darf als konst. Faktor weggelassen werden)
V'(x) = 2ax - 6x²
V''(x) = 2a - 12x
V' = 0 -> 2x*(a - 3x) = 0
(nur x <> 0 sinnvoll)
x = a/3; h = (a - 2a/3)/2 = a/6
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
x = (a/3) noch in V''(x) einsetzen, das Vorzeichen bestimmt die Art des Extremums:
V''(a/3) = 2a - 4a = -4a < 0, Maximum!
Bei max. Volumen ist somit der Radius des Zylinders a/3, dessen Höhe ist a/6
Gr
mYthos
|
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 413
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 15:05: |
|
Nr.2
In der obigen Skizze sind die Seiten des Balkenquerschnitts mit x und y bezeichnet. Sie bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Seine Hypotenuse ist 2r. Nach dem Satz des Pythagoras gilt (2r)²=x²+y² oder
4r² = x²+y²
In deiner Tragfähigkeitsformel
T = k*x*y²
kommt y bereits quadratisch vor. Deshalb löst du die obige Gleichung am besten nach y² auf:
y²=4r²-x²
In die Tragfähigkeitsformel einsetzen, ergibt:
T(x)=k*x*(4r²-x²)
Jetzt kannst du den Rest sicher alleine lösen. Wenn ich richtig gerechnet habe ergibt sich für das optimale x der Wert 2r/3*Ö3, für das optimale y dagegen 2r/3*Ö6.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
|
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 414
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Dezember, 2003 - 15:17: |
|
3)
Wie man an der (hoffentlich nicht zu kleinen) Skizze sieht, "steht das Trapez auf der Seite". Die Höhe ist a Einheiten lang. Die beiden parallelen Grundseiten haben die Längen f(a) und f(2a), also 3a²-a³ und 3*4a²-8a³.
Die Flächenformel für ein Trapez lautet
F=h*(a+c)/2
In unserem Fall ist die Höhe a,
die erste Grundseite 3a²-a³ und
die zweite Grundseite 12a²-8a³
Durch Einsetzen erhält man
F(a)=a/2 * (15a²-9a³)
Weiter geht's mit den üblichen Methoden.
Am Schluss solltest du a=5/4 als optimalen Wert erhalten.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
|
Anastäschen (Anastäschen)
Junior Mitglied
Benutzername: Anastäschen
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Dezember, 2003 - 16:52: |
|
Liebe Mathehelfer ,
Danke für die genialen Lösungen.Konnte sie sehr gut nachvollziehen und hab sie auch zu Ende gerechnet.Nun kann ich das Weihnachtsfest etwas ruhiger verbringen.Hoffentlich habt ihr nix dagegen ,wenn ich eure Hilfe wieder einmal brauche!!
Ich wünsche euch ein schönes W.fest!! |
|
