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Arzoo (Arzoo)
Junior Mitglied
Benutzername: Arzoo
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 09:59: | 
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Die n-te harmonische Zahl Hn für n > 0 ist
definiert als Hn = € 1<=k<=n 1/k (€ = DAS sol heißen Summe über1<=k...<=n)
(a) Zeigen Sie, dass H2n >= n/2+ 1
(b) Zeigen Sie, dass H2n <= n+ 1 |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1851
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 11:35: |
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statt H2n soll es wohl H2n
lauten
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Arzoo (Arzoo)
Junior Mitglied
Benutzername: Arzoo
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 18:10: |
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ja ICH wusste nicht wie man das hier schreibt . |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 937
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 20:46: |
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Hi!
Schau dir mal in einem freien Moment mal den Link hier an: http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/discus.cgi?pg=formatting
Zu den Aufgaben:
(a) Hier nutzt man dieselbe Methode, die man auch benutzt, um zu zeigen, dass die harmonische Reihe nicht konvergiert, dass also die Summe der Stammbrüche immer größer wird:
Wir wissen dass gilt:
1/k ³ 1/2n für alle k£2n
Also insbesondere für alle k mit 2n-1 < k £ 2n
Somit gilt:
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/2n ³ 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2n
= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/2n
= 1 + n*1/2 = 1 + n/2
Das Ganze kann man natürlich noch etwas schöner aufschreiben mit Summenzeichen und Doppelsumme (kann man aber auch weglassen). Die Formulierung kriegst du dann aber schon hin, oder?
Mal ein konkretes Beispiel mit n=3:
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ³ 1 + 1/2 + 2*1/4 + 4*1/8
= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2
= 1+ n*1/2 = 1+ n/2
(b) Hier machen wir etwas Ähnliches, nur schätzen wir in die andere Richtung ab:
Jetzt mal am konkreten Beispiel mit n=3, du kannst es verallgemeinern:
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 £ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/8
= 1 + 1 + 1 + 1/8
£ 1 + 1 + 1 + 1
= 1 + 3 = 1 + n
Ich hoffe, das Prinzip ist klar. Ansonsten kannst du dich ja wieder melden!
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 11., Dezember. 2003 von martin243 editiert)
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Arzoo (Arzoo)
Junior Mitglied
Benutzername: Arzoo
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 10:51: |
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ich verstehe das nicht so ganz , die lösung ist nicht so wichtig den dies ist nur eine Aufgabe zum üben für den test ich müss den lösungsweg verstehen ....Ich verstehe gar nicht das damit die frage gelöst ist  |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 947
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 12:14: |
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OK!
Dann will ich mal versuchen, dir die "Strategie" dieses Beweises zu verdeutlichen.
(a)
Wir wollen zeigen, dass die Summe größer (oder gleich) als n/2+1 ist.
Das läuft darauf hinaus, dass wir versuchen, eine andere Folge zu finden, deren entsprechende Teilsumme gleich n/2+1 ist und zu der unsere Folge in einer einfach zu zeigenden Beziehung steht.
Es fällt natürlich auf, dass wir die Beziehung nur für Zweierpotenzen von n zeigen sollen.
Also schauen wir uns mal an, was so zwischen den einzelnen Potenzen passiert:
H(22) - H{21} = 1/4 + 1/3
H(23) - H{22} = 1/8 + 1/7 + 1/6 + 1/5
H(24) - H(23) = 1/16 + 1/15 + ... + 1/10 + 1/9
und allgemein:
H(2n) - H(2n-1) = 1/2n + 1/(2n-1) + ... + 1/(2n-1+2) + 1/(2n-1+1)
Wir sehen zwei Dinge:
1. Die Differenz H(2n) - H(2n-1) setzt sich aus 2n-1 Summanden zusammen und
2. jeder Summand ist ³ 1/2n
Also wissen wir auf jeden Fall, dass gilt:
H(2n) - H(2n-1) ³ 2n-1*1/2n = 1/2,
denn wir addieren hier 2n-1-mal den kleinsten Summanden auf.
Nun benutzen wir den Trick mit der sogenannten Teleskopsumme. Hierbei handelt es sich meist um eine Summe von Differenzen, in der sich die meisten Elemente aufheben und die am Ende viel einfacher aussieht. Es gilt:
H(2n) = [H(2n) - H(2n-1)] + [H(2n-1) - H(2n-2)] + ... + [H(22) - H(21)] + [H(21)]
³ [1/2] + [1/2] + ... + [1/2] + [1/2 + 1]
(denn jede eckige Klammer - bis auf die letzte - ist ³ 1/2 ; H(21) rechnet man direkt aus)
= (n-1) * 1/2 + 1/2 + 1
= n*1/2 + 1
= n/2 + 1
Das eine ³ zeigt, dass unsere Forderung tatsächlich erfüllt ist.
Es ist vielleicht nicht ganz so einfach, den Ansatz zu finden, aber sonst ist der Beweis nicht so schwer.
Ich denke, wenn du den verstehst, verstehst du auch (b).
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
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Galileo Galilei
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