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Produktintegration von sin^2 x

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Integralrechnung » Integral/Stammfunktion » Produktintegration von sin^2 x « Zurück Vor »

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Taco (Taco)
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Neues Mitglied
Benutzername: Taco

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 13:07:   Beitrag drucken

Hallo

Ich habe Probleme, die Produktintegration zu verstehen, besonders bei dieser Aufgabe hier:
(Integral von null bis pi über) sin^2x dx. =... sin x*sin x dx

Könnte mir jemand detailliert vorrechnen, wie man diese Funktion aufleitet?
Sorry, dass ich meine Frage nicht genauer stellen kann, aber ich habe echt überhaupt keine Ahnung, wie das hier zu machen ist.


Danke schon mal!
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 589
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 13:23:   Beitrag drucken

umformen erleichtert einiges

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
cos(2x) = 1 - sin^2(x) - sin^2(x)
cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)
1 - cos(2x) = 2sin^2(x)
sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2

INT sin^2(x) dx = INT (1 - cos(2x)) / 2 dx
= x/2 - sin(2x)/4 + C

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Brainstormer (Brainstormer)
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Moderator
Benutzername: Brainstormer

Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 04-2001
Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 16:32:   Beitrag drucken

Hallo,

um dieses Problem durch reine Produktintegration (+ einen kleinen Trick) zu lösen kannst du wie folgt vorgehen.

ò sin2xdx = ò (sinx)*(sinx)dx

u := sin x => u' = cos x
v' := sin x => v = -cos x

ò sin2xdx = -sinx*cosx + ò cos2xdx

Jetzt formt man das verbliebene Integral gemäß sin2 x + cos2 x = 1 um und erhält:

ò sin2xdx = -sinx*cosx + ò 1dx - ò sin2dx

So jetzt kommt der kleine Trick, man addiert auf beiden Seiten ò sin2xdx (identisch mit der linken Seite) und löst noch kurz das Integral mit der 1 auf:

2*ò sin2dx = -sinx*cosx + x + C1

Nun wird nur noch durch 2 dividiert und man hat das Ergebnis (welches übrigens nach ein paar Umformungen mit dem von Mainziman übereinstimmt):

ò sin2dx = (-sinx*cosx + x)/2 + C

MfG,
brainstormer
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 344
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 16:43:   Beitrag drucken

Hi!
Kleine Ergänzung:
Ganz wichtig ist es, dass man ò cos²x dx tatsächlich mit Hilfe von sin²x + cos²x = 1 umformt. Versucht man nämlich, ò cos²x dx einfach noch einmal partiell zu integrieren, erhält man
ò sin²x dx=ò sin²x dx
Sicher richtig, aber nicht unbedingt brauchbar :-)

Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Taco (Taco)
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Neues Mitglied
Benutzername: Taco

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 11:20:   Beitrag drucken

Danke Leute, ich glaub, ich hab's kapiert!

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