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Lydias (Lydias)
Junior Mitglied
Benutzername: Lydias
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 12:28: | 
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Hallo!
Ich habe mit dieser Aufgabe ein paar Probleme. Würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Sei
P2 := {p: R -> R, x -> a + bx + cx^2, a,b,c element R }
die Mene aller Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich 2
a) Zeige: P2 ist ein Unterraum vom Vektorraum R^R aller Funktionen von R nach R. Wie ermittle ich diesen?
b) Gib eine Basis des Vektorraums P2 an.
Danke!
Viele Grüße
Lydia
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 932
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 16:34: |
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Hi!
a)
Du musst hier nichts ermitteln. Du hast hier eine Menge vorgegeben und sollst lediglich die Vektorraumeigenschaften nachweisen, da eh klar ist, dass P2 eine Teilmenge vom RR ist, weil jede Polynomfunktion insbesondere eine reellwertige Funktion ist.
Die Menge darf nicht leer sein. Da können wir eine beliebige Polynomfunktion höchstens 2. Grades angeben.
Die Menge muss bezüglich der Addition abgeschlossen sein.
Seien x->a + bx + cx² und x->d + ex + fx² Polynomfunktionen höchstens 2. Grades. Dann gilt:
(a + bx + cx²) + (d + ex + fx²) = (a+d) + (b+e)x + (c+f)x² ist auch eine Polynomfunktion höchstens 2. Grades, also in P2.
Alle Vielfachen einer Funktion aus P2 müssen auch in P2 liegen. Sei r reell und x->a + bx + cx² aus P2, dann gilt:
r*(a + bx + cx²) = (ra) + (rb)x + (rc)x² ist auch in P2.
b)
Eine Basis ist z.B. B = {x->1, x->x, x->x²}. Wir müssen nur zeigen, dass jede Polynomfunktion aus P2 aus B linear kombinierbar ist.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Lydias (Lydias)
Junior Mitglied
Benutzername: Lydias
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 08:57: |
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Hallo!
Danke für deine Antwort! Ich hätte nur noch eine Frage zur b). Wie zeige ich das 1,x,x^2 eine Basis ist? Ich habe etwas gelese in dem es heißt, dass man x = 0, x = 1, x=-1 setzen muß um eine LGS zu erhalten. Warum muss ich die Werte 0, 1, -1 einsetzen?
Wäre dankbar wenn du mir das noch erklären könntest.
Viele Grüße
Lydia |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 345
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 16:48: |
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Hallo Lydia!
Das ist viel einfacher, als du denkst:
1) Deine 3 Elemente 1,x und x² sind linear unabhängig, denn:
a*1 + b*x + c*x² = 0 (0-Funktion !) bedeutet doch, dass a=b=c=0 sein muss.
2) Deine 3 Elemente spannen den gesamten P² auf.
Nimm ein beliebiges Element aus P². Es lässt sich schreiben als a+b*x+c*x². Nun ja, du erkennst sicher sofort deine 3 Basiselemente. Das ist bereits alles. Du musst also keineswegs 0, 1 und/oder -1 einsetzen.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 934
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 21:50: |
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Hi!
Da stimme ich Jair zu! Es ist wirklich sehr einfach, nachzuweisen, dass diese Standardbasis wirklich eine Basis ist. Hätte ich genauso beschrieben.
Um aber mal eine etwas andere Basis als die anfangs von mir gewählte zu nennen, nehme ich auch mal die hier:
B = {5, 2x + x², x² + 3}
Nun wollen wir zeigen, dass sich jedes Polynom daraus eindeutig linear kombinieren lässt. Hierbei ist erstmals zu sehen, dass die Koeffizienten des Polynoms (oben a,b,c) nicht unbedingt den Koeffizienten der Linearkombination entsprechen müssen.
Sei also P(x) = p + qx + rx² ein beliebiges Polynom aus P2. Nun wollen wir zeigen, dass es sich auch aus unserer neuen Basis B linear kombinieren lässt.
Es soll gelten:
p + qx + rx² = a1*5 + a2*(2x + x²) + a3*(x² + 3)
Da wir nun (nach Jair) wissen, dass 1, x und x² linear unabhängig sind, können wir nach den einzelnen Potenzen sortieren und einen Koeffizientenvergleich wagen:
p + qx + rx² = (5a1 + 3a3) + 2a2x + + (a2 + a3)x²
Also muss gelten:
p = 5a1 + 3a3 und
q = 2a2 und
r = a2 + a3
Lösen wir das Gleichungsystem, so erhalten wir, dass sich jedes beliebige Polynom p+qx+rx² als Linearkombination aus unseren Basisvektoren darstellen lässt mit den Koeffizienten
a1=p/5+3q/10-3r/5 , a2=q/2, a3=-q/2+r.
Man sieht also, dass man bei einer etwas weniger geeigneten Basis etwas rechnen muss. Dennoch lässt es sich immer zeigen, dass es eine Basis ist.
Das war nur so eine Art pädagogisch wertvoller Nachtrag und stellt weder Jairs noch meine obige Lösung in Frage!
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Lydias (Lydias)
Junior Mitglied
Benutzername: Lydias
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 07:58: |
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Hallo!
Erstmal vielen Dank für die Hilfestellungen !!
Ich muss jetzt aber leider noch mal mit eine paar Fragen nerven.
Was haben wir dann damit erreicht das wir x=0, x=1, x=-1 eingesetzt haben und dann das LGS gelöst haben? Ist das nur ein bißchen umständlicher?
Dann hätte ich noch die Frage wie ich prüfen kann ob 3 Polynome linear unabhängig sind.
Die Polynome sind p1:2x^2-3x+1 p2: 2x^2-x-1 p3:x^2+x+1
Linear unabhängig sind sie doch dann, wenn sich der Nullvektor trivial darstellen lässt?! Ich habe die Polynome addiert und dann wieder mit x=0, x=-1, x=1 ein LGS aufgestellt. Müsste doch so klappen oder? Allerdings kommt da bei mir nichts sinnvolles raus.
Wenn ich die Polynome addiere kommt 5x^2-3x+1=0 raus. Ich muß ja dann noch die Koeffizienten einsetzten. a5x^2 - b3x +1c = 0 und jetzt komme ich mit x=0 x=1 x=-1 auf ein LGS. Stimmt doch so?
Als lezte Frage noch: Wie bestimmt man Bild und Kern einer linearen Abbildung:
P2 -> P2, a+bx+cx2 ----> b+2cx
Bis jetzt sehe ich nur das b+2cx die 1. Ableitung des Polynoms ist. Wie komme ich jetzt auf das Bild bzw. Kern?
Noch mal Danke!
Viele Grüße
Lydia
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 357
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 15:59: |
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Ich habe leider keinen blassen Schimmer, was man durch Einsetzen von 0, 1 und -1 erreichen kann, und ich sehe auch nicht, wie sich dabei ein LGS ergibt. Zunächst hat man ja nur 3 Terme vorliegen.
Dafür kann ich dir sagen, wie man prüfen kann, ob die 3 Polynome linear unabhängig sind.
Du setzt wieder a*p1+b*p2+c*p3=0.
Also:
a*(2x²-3x+1)+b*(2x^2-x-1)+c*(x^2+x+1)=0
Ausmultiplizieren:
2ax²-3ax+a+2bx²-bx-b+cx²+cx+c=0
Sortieren:
(2a+2b+c)x²+(-3a-b+c)x+(a-b+c)=0
Koeffizienten vergleichen:
2a+2b+c=0
-3a-b+c=0
a -b+c=0
Da hast du dein System. Wenn du nun herausfindest, dass zwangsläufig a=b=c=0 sein muss, dann sind die Polynome lin. unabhängig, sonst nicht...
Übrigens: linear unabhängig bedeutet,dass sich der Nullvektor nur trivial darstellen lässt. Denn dass man ihn immer trivial darstellen kann, steht ja außer Frage.
Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf 0 abgebildet werden. In deinem Fall sind das alle Polynome, die die Form a+0x+0x² haben. Bei der Abbildung werden sie auf 0+2*0*x=0 abgebildet.
Das Bild einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, auf die mindestens ein Vektor tatsächlich abgebildet wird. Das sind bei dir alle Polynome der Form p+qx, wobei p=b und q=2c gilt.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 741
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 22:22: |
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@Jair: Wenn Du einen Koeffizientenvergleich als Beweis heranziehst, gehst Du aber schon von der linearen Unabhängigkeit der Polynome x²,x und 1 aus.
Deshalb kommt man nur mit Einsetzen von drei Werten für x weiter.
1) x=0 => a-b+c=0
2) x=1 => 0a+0b+3c=0
3) x=-1 => 6a+2b+c=0
Aus 2) folgt c=0 woraus mithilfe von 1) weiter folgt, daß a=b und somit aus 3)8a=0.
Also ist notwendiger Weise a=b=c=0. Hinreichend ist es allemal.
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 366
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 22:31: |
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Hallo Ingo!
Hm, es ging doch hier um die lineare Unabhängigkeit der Polynome
quote:p1:2x^2-3x+1 p2: 2x^2-x-1 p3:x^2+x+1
Dass x², x und 1 lin. unabhängig sind, war ja schon vorher gezeigt worden.
Oder habe ich dich missverstanden?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 367
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 22:34: |
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Ups! Sorry! Ich sehe, du meintest den Beitrag von gestern.
Ja, ich sehe ein, da habe ich nicht genug nachgedacht. Danke für den Hinweis!
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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