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Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 16:45: | 
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ft(x)= 4e^tx-e^2tx mit t>0
a)Untersuchen Sie Kt auf Schnittpunkte mit der x-Achse, auf Hoch-, Tief und Wendepunkte sowie auf Asymptoten.
b) Es sei S der schnittpunkt der Kurve Kt mit der y-Achse. Die Kurventangente in S, die Kurvennormale in S und die x-Achse bilden ein Dreieck.
Für welchen Wert von t wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks am kleinsten?
Zeigen Sie, dass das dreieck mit dem kleinsten Inhalt gleichschenklig ist.
c) Die x-Achse und die Kurve Kt begrenzen eine längs der negativen x-Achse ins Unendliche reichende Fläche.
Zeigen Sie, dass die Gerade y=3 diese Fläche in einem von t unabhängigen Verhältnis teilt.
d)Zu jedem t> 0 ist eine Funktion gt gegeben durch
ft(x)* gt(x) = 1
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich Dg.
Das Schaubild von gt sei Ct.
Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von Kt und Ct.
Es sei u eine für alle x Element aus R differenzierbare Funktion mit u(x) ungleich 0 für alle x Element aus R.
Die Funktion v ist für alle x Element aus R definiert durch u(x)*v(x)=1.
Zeigen Sie, dass u´(x)*v´(x) für alle x Element aus R nicht positiv ist.
Es wäre sehr hilfreich für mich, wenn ihr mit weiterhelfen könntet! es reicht auch nur bei Teilaufgaben, das es ja sehr viel ist!! DANKE!!
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Kratas (Kratas)
Junior Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 18:15: |
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Zu a) Meine Lösung:
*edit* Sch**ße, ich hab den Funktionsterm falsch abgeschrieben, na ja...
(Beitrag nachträglich am 04., Dezember. 2003 von Kratas editiert) |
Kratas (Kratas)
Junior Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 19:17: |
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So, zu b) mit der richtigen Funktion 
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Kratas (Kratas)
Junior Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 19:42: |
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zu d)
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 798
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:17: |
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@Kratas
Deine ausführliche Rechnung krankt leider daran, dass du die Angabe falsch abgeschrieben hast!
ft(x)= 4e^tx-e^2tx und nicht 4e^tx-2*e^2tx
Deswegen konnte auch c) nicht gerechnet werden. Lehrreich ist aber deine Rechnung immerhin!
Gr
mYthos
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Kratas (Kratas)
Junior Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:19: |
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zur letzten Frage:
Man kann jede dieser differenzierbaren Funktionen u(x) aufgrund der Stetigkeit in Bereiche mit str. monoton st./fall. Werten einteilen. Wenn man ein solches Intervall betrachtet,wo die Funktion monoton steigend bzw. fallend ist, so ist die zugehörige Funktion v(x) in diesem str.monoton fallend bzw. steigend, da durch den Kehrwert 1/u
v(x) kleiner bzw. größer ist als u(x). Verdeutlichung: u(x) ist str.monoton steigend, also gilt: u(x2) > u(x1) für x2 > x1
Durch Umstellen der Gleichung kann man v(x) erhalten:
u(x2) > u(x1) |: u(x1) :u(x2)
1/u(x1) > 1/u(x2)
Es folgt: v(x1) > v(x2), was bedeutet das v(x) str. monoton fallend ist.
Str. monoton steigend bedeutet, dass die Steigung an jeder Stelle positiv ist und somit auch f´ positiv ist. Dementsprechend ist bei "fallend" f´ stets negativ. Dass wiederum bedeutet, dass das Produkt u´* v´ mit u´>bzw.<0 und v´<bzw.>0 aufgrund der verschiedenen Vorzeichen stets negativ ist. Quod erat demonstrandum... |
Kratas (Kratas)
Junior Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:24: |
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@Mythos2002:
Hab ich bereits nach a) gemerkt...die restlichen Beiträge verwenden die "wirkliche" Funktion und das mit c) liegt daran, dass ich nicht so richtig die Aufgabenstellung verstehe...
MfG
Kratas |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 799
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:43: |
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Sorry, hab deine Korrektur zu spät gelesen!
Aufgabenteil c)
Die Gerade y = 3 schneidet die Kurve bei (0|3). Der erste Teil der Fläche (A1) ist die Fläche der Kurve zwischen -oo und der Stelle 0, ich erhalte
A1 = 7/(2t)
Der zweite Teil (A2) liegt zwischen 0 und der Nullstelle (ln(4))/t, deren Wert ich mit
A2 = 9/(2t)
errechnet habe.
Das Verhältnis A1 : A2 = 7 : 9, also von t unabhängig.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 800
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:53: |
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Beide Flächen wurden mit dem Integral berechnet:
A1 = int[-oo;0](4*e^(tx) - e^(2tx))dx
A1 = [(4/t)*e^(tx) - (1/(2t))*e^(2tx)][-oo;0]
(Die untere Grenze -oo ergibt beim Einsetzen Null)
A1 = 4/t - 1/(2t) = 7/(2t)
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A2 = int[0;(ln(4))/t](4*e^(tx) - e^(2tx))dx
A2 = [(4/t)*e^(tx) - (1/(2t))*e^(2tx)][0;(ln(4))/t]
A2 = (4/t)*4 - 16/(2t) - 4/t + 1/(2t)
A2 = (32 - 16 - 8 + 1)/(2t) = 9/(2t)
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Gr
mYthos
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Kratas (Kratas)
Junior Mitglied
Benutzername: Kratas
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 06:42: |
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Ich versteh nicht so ganz, wie du auf die beiden Teilintervalle kommst, y=3 ist doch eine waagerechte Gerade... |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 802
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 13:33: |
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..na ja, und diese schneidet die Kurve in zwei Punkten, einmal im Punkt (0|3), das zweite Mal in ((ln(3)/t |3). [Lösung der Gleichung z² - 4z + 3 = 0, mit z = e^(tx)]
Für die (senkrechte) Teilung der ganzen Fläche zwischen -oo und der Nullstelle bei (ln(4))/t, die übrigens A = 8/t E² beträgt, habe ich nun den x-Wert des linken Punktes herangezogen.
Mhhm ... allerdings stimmt es, dass dadurch die Fläche wiederum nur senkrecht geteilt ist .....
Also müsste bei waagrechter Teilung eigentlich das oberhalb der Geraden y = 3 liegende Flächenstück (zw. 0 und (ln(3))/t) berechnet werden; dieses beträgt (mit Integral berechnet)
A2 = 4/t - 3*ln(3)/t = (1/t)*(4 - ln(27))
Die Restfläche A1 ist A - A2 =
A1 = (1/t)*(4 + ln(27))
Somit beträgt das Teilungsverhältnis dann
A1 : A2 = (4 + ln(27)) : (4 - ln(27))
und ist wiederum unabhängig von t.
SO müsste es aber nun stimmen.
Hinw. zur Berechnung von A und A2 mittels Integral:
A = int[-oo;(ln(4))/t](4*e^(tx) - e^(2tx))dx
A1 = [(4/t)*e^(tx) - (1/(2t))*e^(2tx)][-oo;(ln(4))/t]
(Die untere Grenze -oo ergibt beim Einsetzen Null)
A1 = (4/t)*4 - (1/(2t))*16 = 16/t - 8/t = 8/t
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A2 = int[0;(ln(3))/t](4*e^(tx) - e^(2tx))dx - 3*ln(3)/t
(das Rechteck (ln(3))/t ; 3 ist zu subtrahieren)
A2 = [(4/t)*e^(tx) - (1/(2t))*e^(2tx)][0;(ln(3))/t] - 3*ln(3)/t
A2 = (4/t)*3 - 9/(2t) - 4/t + 1/(2t) - 3*ln(3)/t
A2 = 4/t - 3*ln(3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
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Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 14:11: |
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Hier noch eine Grafik!
Übrigens, es gibt doch einen Wendepunkt, W(0|3)!
Gr
mYthos
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Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 16:41: |
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Hallo Kratas und Mythos,
VIELEN VIELEN DANK, dass ihr euch beide so eine Mühe macht!!!!
*freu*
Ich gucke mir das alles an und bei Fragen komme ich gegebenfalls auf euch zurück!?
danke!
mfg, Anabel |
Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 73
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 22:02: |
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heyho ihr!
Da ist auch schon meien erste Frage, sie bezieht sich auf b) und zwar kenne ich diese Formel für die Normalengleichung y= -1/f´(x0)...gar nicht, wie ist die denn entstanden?
ansonsten erst mal keine weiteren Fragen, weils echt alles verständlich erklärt ist! |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 807
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 23:04: |
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Wenn die Steigung m_t der Tangente t bereits bekannt ist, dann ist die Steigung der Normalen
m_n = -1/m_t
denn bei Normalen ist das Produkt beider Steigungen stets -1!
Es war m_n = 2t, daher ist m_n = -1/(2t)
Auch die Normale geht durch den Punkt S(0|3), daher kann man dessen Koordinaten in die Normalengleichung
y = m_n*x + d
einsetzen, um d zu ermitteln:
3 = d, somit hat die Normale n die Gleichung:
y = -1/(2t) + 3
Gr
mYthos
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Anabel (Anabel)
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Benutzername: Anabel
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 10:36: |
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okay! danke!
@Kratas: ich kriege die zweite Ableitung von A irgendwie nicht hin...
A´ ist ja 9-(9/(4t^2)), das habe ich hinbekommen.
so, nun ist 9 abgeleitet Null und beim Bruch muss ich ja die Quotientenregel anwenden:
0*4t^2-(-9)*8t/(4t^2)^2
(oder wie ist die Abl. von 4t^2 -->8t??)
jedenfalls hab ich dann 72t/16t^4 = 9/2t^3
und nicht 9/4t^3 wie du es bekommst. Was ist bei meiner Rechnnung falsch???
@Mythos
Beim Flächeninhalt (mit der waagerechten Teilung!)weiß ich nicht, wie du bei A mit Einsetzen der Grenze ln4/t auf 1/2t*16 im zweiten Teil kommst. Ich verstehe die 16 nicht, die ist doch nämlich von e^(2t * ln4/t). Kommt da durch umformen vllt irgendwie 16 heraus???
ich hoffe du weißt was ich meine.
Um A2 zu berechnen schreibst du
(das Rechteck (ln(3))/t ; 3 ist zu subtrahieren)
was bedeutete das???
wie kommst du bei A2 überhaupt auf die Grenze ln3/t???
Wäre super, wenn ihr mir noch mal helfen könntet!!DANke
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Kratas (Kratas)
Junior Mitglied
Benutzername: Kratas
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 18:18: |
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@Anabel:Deine Rechnung ist vollkommen richtig...mein Fehler :=)
Viel einfacher und schneller wäre es aber so gegangen:
(-9/4t^2)=(-9/4)*t^-2=f(x)
[f(x)]´=(-9/4)*(-2)*t^(-2-1)=9/2t^3
Noch Fragen zu a)?
MfG
Kratas
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Anabel (Anabel)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Anabel
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Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 22:02: |
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okay!*danke*
Zu a) habe ich keine Fragen mehr, nur zu c) @Mythos, hilfst du mir noch mal?? |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 812
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 22:40: |
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------------- Zitat Beginn -----------
@Mythos
Beim Flächeninhalt (mit der waagerechten Teilung!)weiß ich nicht, wie du bei A mit Einsetzen der Grenze ln4/t auf 1/2t*16 im zweiten Teil kommst. Ich verstehe die 16 nicht, die ist doch nämlich von e^(2t * ln4/t). Kommt da durch umformen vllt irgendwie 16 heraus???
------------- Zitat Ende -----------
Ja genau, denn e^(tx) = 4, somit ist e^(2tx) = 16, das Quadrat! e^(2tx) ist nämlich (e^(tx))²
------------- Zitat Beginn -----------
Um A2 zu berechnen schreibst du
(das Rechteck (ln(3))/t ; 3 ist zu subtrahieren)
was bedeutete das???
wie kommst du bei A2 überhaupt auf die Grenze ln3/t???
------------- Zitat Ende -----------
ln(3)/t ist der x-Wert des 2. Schnittpunktes der Kurve mit der Geraden y = 3, ziemlich weit oben habe ich es kurz geschrieben ...
y = 4*e^(tx) - e^(2tx) und y = 3 gleichsetzen ->
4*e^(tx) - e^(2tx) - 3 = 0
4*e^(tx) - (e^(tx))² - 3 = 0
e^(tx) = z setzen (Substitution)->
z² - 4z + 3 = 0
z1 = 1; z2 = 3; in Subst. rückeinsetzen
e^(tx) = 1 |ln
t*x = 0
x1 = 0
e^(tx) = 3 |ln
t*x = ln3
x2 = (ln(3))/t
Wenn du den Graph betrachtest, siehst du doch, dass der zweite Teil der Fläche, A2 (rot), oberhalb des Rechteckes, das von den 2 Schnittpunkten mit der x-Achse gebildet wird, liegt. Das Integral liefert aber den gesamten Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse, sodass eben der Inhalt dieses Reckteckes zu subtrahieren ist!
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Dezember, 2003 - 22:55: |
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Man kann die Fläche A2 auch streng nach Regel berechnen:
Fläche zwischen 2 Kurven f(x), g(x) (zwischen ihren gemeinsamen Schnittpunkten):
A = int[(fx) - g(x)]dx in den entsprechenden Grenzen ..
Hier also zwischen y = 4*e^(tx) - e^(2tx) und y = 3, in den Grenzen von 0 und (ln(3))/t
A2 = int[4*e^(tx) - e^(2tx) - 3][0; ln(3)/t] und du erhältst den gleichen Wert!
Gr
mYthos
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Anabel (Anabel)
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Benutzername: Anabel
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 13:38: |
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hallo Mythos,
ganz großes Dankeschön!!!Ich habe den Flächeninhalt von A2 nun nach der Regel deines letzten Beitrags berechnet, fand ich einfacher...
Nun ist alles komplett!!
Danke euch beide noch mal für die Hilfe! |
